統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
25303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 38, 56, 25, 51, 25。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。562.5 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 50x = 562.5
P =
3.確率ふつう
赤: 6青: 8

袋に赤玉 6 個と青玉 8 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

6 / 8
P =
4.確率むずかしい
n = 5, p = 0.25: P(X = 1) = ?k012345

あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 5p = 0.25k = 1
P =
5.正規分布ふつう
440508P = ?

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。440 から 508 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 508
P =
6.正規分布むずかしい
0.03 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 16, s = 10LU = ?x̄ = 27.5E95%

16 個からなる標本の平均は 27.5、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 16x̄ = 27.5s = 1095%t(15) = 2.131
上限 =
8.信頼区間むずかしい
μ₁ − μ₂, t(29) = 1.6990LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：23 区画、平均収量 39.5 kg、標準偏差 10 kg。区画群 2：8 区画、平均 47.5 kg、標準偏差 1.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 23x̄₁ = 39.5s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 47.5s₂ = 1.590%t(29) = 1.699
上限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.9901.99

学生 81 人の標本の平均点は 502.3、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 502.3s = 10n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 15E = 2.595%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy252356465566679xy24650607080

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy365472574681791888xy468708090x = 5.5

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5.5, 77) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(5.5, 77)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.23

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 254/6 = 42.33

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 16.67² + (−4.333)² + 13.67² + (−17.33)² + 8.667² + (−17.33)² = 1159

標準偏差

s = √(1159/5) = 15.23

答え

s = 15.23
2.記述統計

答え: P = 0.1056

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056
3.確率

答え: P = 0.1648

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

答え

P = 0.1648
4.確率

答え: P = 0.3955

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 1) = 5·0.251·0.754 = 5·0.25·0.3164 = 0.3955

答え

P = 0.3955
5.正規分布

答え: P = 0.5125

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5
z₂ = (508 − 500)/40 = 0.2

間の面積

P = Φ(0.2) − Φ(−1.5) = 0.5793 − 0.06681 = 0.5125

答え

P = 0.5125
6.正規分布

答え: P = 0.983

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12

確率

P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983

答え

P = 0.983
7.信頼区間

答え: 上限 = 32.83

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 15, t = 2.131

誤差の幅

E = 2.131·10/√16 = 5.327

区間

27.5 ± 5.327 → [22.17, 32.83]

答え

上限 = 32.83
8.信頼区間

答え: 上限 = −1.904 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

sp² = (22·10² + 7·1.5²)/29 = 76.41
sp = 8.741

誤差の幅

E = 1.699·8.741·√(1/23 + 1/8) = 6.096

区間

−8 ± 6.096 → [−14.1, −1.904]

答え

上限 = −1.904 kg
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.07

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

検定統計量

t = (502.3 − 500)/1.111 = 2.07

答え

t = 2.07
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 139

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.96·15/2.5)² = 138.3

切り上げる

n = 139

答え

n = 139
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9679

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 318/5 = 63.6

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 437.2

相関係数

r = 64/√(10·437.2) = 0.9679

答え

r = 0.9679
12.線形回帰と相関

答え: e = −1.5

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 471/6 = 78.5

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89.5

回帰直線

b = 89.5/17.5 = 5.114
a = 78.5 − 5.114·5.5 = 50.37
ŷ = 50.37 + 5.114·x

予測値

ŷ = 50.37 + 5.114·5.5 = 78.5

残差

e = 77 − 78.5 = −1.5

答え

e = −1.5

点は直線より下にあります。

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