統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 34, 50, 40, 22。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。96 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 100σ = 5x = 96

z =

3.確率ふつう

公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 4

P =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 3X + 1 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 3X + 1

σ_Y =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9756 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9756

z =

6.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの下位 80% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点80%

x = 点

7.信頼区間ふつう

6 個からなる標本の平均は 45.5、標準偏差は s = 7.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 6x̄ = 45.5s = 7.595%t(5) = 2.571

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 10 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 10E = 0.599%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

ある母集団の平均は 500 であると主張されています。母標準偏差は 15 であることがわかっています。25 個の観測値からなる無作為標本の平均は 505.88 です。H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 を検定します。p 値 p を求めなさい。

μ₀ = 500σ = 15n = 25x̄ = 505.88H₁: μ > μ₀

p =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 2.599%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (3.5, 26) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(3.5, 26)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 10.55

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 189/5 = 37.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 5.2² + (−3.8)² + 12.2² + 2.2² + (−15.8)² = 444.8

標準偏差

s = √(444.8/4) = 10.55

答え

s = 10.55

2.記述統計

答え: z = −0.8

標準化する

z = (96 − 100)/5 = −0.8

答え

z = −0.8

3.確率

答え: P = 0.5177

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答え

P = 0.5177

4.確率

答え: σ_Y = 2.414

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

一次変換

σ_Y = |3|·0.8047 = 2.414

答え

σ_Y = 2.414

平均は変化します：E(Y) = 3·1.05 + 1 = 4.15。

5.正規分布

答え: z = 2.25

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9756)/2 = 0.9878

z 表を逆に読む

表の中で 0.9878 を見つけ、z を読み取ります。

z = 2.25

答え

z = 2.25

6.正規分布

答え: x = 73.4 点

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 65 + 0.84·10 = 73.4 点

答え

x = 73.4 点

7.信頼区間

答え: 上限 = 53.37

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 5, t = 2.571

誤差の幅

E = 2.571·7.5/√6 = 7.872

区間

45.5 ± 7.872 → [37.63, 53.37]

答え

上限 = 53.37

8.信頼区間

答え: n = 2655

n について解く

n = (2.576·10/0.5)² = 2654

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 2655

答え

n = 2655

9.仮説検定と信頼区間

答え: p = 0.025

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

検定統計量

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (505.88 − 500)/3 = 1.96

裾の面積

Φ(1.96) = 0.9750

1 − Φ(1.96) = 0.0250

p 値

p = 0.025

答え

p = 0.025

p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 68

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (2.576·8/2.5)² = 67.95

切り上げる

n = 68

答え

n = 68

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9896

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 714/6 = 119

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 957

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5876

決定係数

r² = 957²/(157.5·5876) = 0.9896

答え

r² = 0.9896

y の変動の約 98.96% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.8

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

回帰直線

b = −12/10 = −1.2

a = 22.8 − (−1.2)·3 = 26.4

ŷ = 26.4 − 1.2·x

予測値

ŷ = 26.4 + (−1.2)·3.5 = 22.2

残差

e = 26 − 22.2 = 3.8

答え

e = 3.8

点は直線より上にあります。

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