統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
10152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：10, 57, 55, 37, 49, 12, 22。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。146 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 146
P =
3.確率ふつう
xp(x)100.35200.25300.1400.3μ = 23.5

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.25, 0.1, 0.3
Var(X) =
4.確率むずかしい
xp(x)10.3520.130.240.150.25μ

X は示された分布をもち、Y = 5X − 3 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.1, 0.25Y = 5X − 3
σY =
5.正規分布ふつう
108 kg111.6 kgT = X₁ + … + X₉?

箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 9 個の合計質量が 111.6 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9> 111.6 kg
P =
6.正規分布むずかしい
0.03 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 6, s = 1.5LUx̄ = 59E = ?90%

6 個からなる標本の平均は 59、標準偏差は s = 1.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 6x̄ = 59s = 1.590%t(5) = 2.015
E =
8.信頼区間むずかしい
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

母標準偏差は 14 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 14E = 595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.5712.571t = ?df = 5

6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は −6.94、差の標準偏差は 10 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 6d̄ = −6.94sd = 10
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

16 回の測定の標本平均は 72.8 です。母標準偏差は 10 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 72.8σ = 10n = 1695%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
xy1683189320107221212413626147xy202580100120140

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy125224322417518617xy2462025x = 3.5

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 3.5
ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 20.02

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 242/7 = 34.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−24.57)² + 22.43² + 20.43² + 2.429² + 14.43² + (−22.57)² + (−12.57)² = 2406

標準偏差

s = √(2406/6) = 20.02

答え

s = 20.02
2.記述統計

答え: P = 0.1151

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

答え

P = 0.1151
3.確率

答え: Var(X) = 152.8

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.35 + 20·0.25 + 30·0.1 + 40·0.3 = 23.5

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.25 + 900·0.1 + 1600·0.3 = 705

分散

Var(X) = 705 − 23.5² = 152.8

答え

Var(X) = 152.8
4.確率

答え: σY = 8

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.8, Var(X) = 2.56, σX = 1.6

一次変換

σY = |5|·1.6 = 8

答え

σY = 8

平均は変化します：E(Y) = 5·2.8 − 3 = 11。

5.正規分布

答え: P = 0.06681

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 108 kg, σT = 0.8·√9 = 2.4 kg

標準化する

z = (111.6 − 108)/2.4 = 1.5

確率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答え

P = 0.06681
6.正規分布

答え: P = 0.9515

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

確率

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

答え

P = 0.9515
7.信頼区間

答え: E = 1.234

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 5, t = 2.015

誤差の幅

E = 2.015·1.5/√6 = 1.234

答え

E = 1.234
8.信頼区間

答え: n = 31

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·14/5)² = 30.12

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 31

答え

n = 31
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 10/√6 = 4.082

検定統計量

t = −6.94/4.082 = −1.7

答え

t = −1.7

df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 67.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.96·10/√16 = 4.9

区間の端

L = 72.8 − 4.9 = 67.9

答え

L = 67.9
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9985

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 687/6 = 114.5

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3072

相関係数

r = 463/√(70·3072) = 0.9985

答え

r = 0.9985
12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 20.5

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 123/6 = 20.5

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31.5

回帰直線

b = −31.5/17.5 = −1.8
a = 20.5 − (−1.8)·3.5 = 26.8
ŷ = 26.8 − 1.8·x

予測

ŷ = 26.8 + (−1.8)·3.5 = 20.5

答え

ŷ = 20.5

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