記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 51, 48, 51, 37。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。76 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 15x = 76
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.25 で €15、確率 0.02 で €60 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€15: p = 0.25€60: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.7704 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.7704
z =
6.正規分布むずかしい
ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.信頼区間ふつう
10 個からなる標本の平均は 12、標準偏差は s = 5.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 10x̄ = 12s = 5.590%t(9) = 1.833
上限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11s = 5.6 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 100 であると主張されています。母標準偏差は 5 であることがわかっています。100 個の観測値からなる無作為標本の平均は 99.27 です。H₀: μ = 100 対 H₁: μ ≠ 100 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 100σ = 5n = 100x̄ = 99.27H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
25 回の測定の標本平均は 104.4 です。母標準偏差は 20 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 104.4σ = 20n = 2595%
U =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 328Σx² = 220Σy² = 22502Σxy = 2166
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (2.5, 22) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(2.5, 22)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 6.309
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 228/5 = 45.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−4.6)² + 5.4² + 2.4² + 5.4² + (−8.6)² = 159.2
標準偏差
s = √(159.2/4) = 6.309
答え
s = 6.309
2.記述統計
答え: P = 0.6554
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答え
P = 0.6554
3.確率
答え: σ = 9.539
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.35 + 40·0.1 = 23
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 620
分散
Var(X) = 620 − 23² = 91
σ = √91 = 9.539
答え
σ = 9.539
4.確率
答え: E(G) = 1.95 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 12 (p = 0.25), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.73)
期待値
E(G) = 12·0.25 + 57·0.02 − 3·0.73 = 1.95 €
答え
E(G) = 1.95 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = −0.74
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.7704 = 0.2296
z 表を逆に読む
表の中で 0.2296 を見つけ、z を読み取ります。
z = −0.74
答え
z = −0.74
6.正規分布
答え: P = 0.7389
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
標準化する
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
確率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答え
P = 0.7389
7.信頼区間
答え: 上限 = 15.19
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 9, t = 1.833
誤差の幅
E = 1.833·5.5/√10 = 3.188
区間
12 ± 3.188 → [8.812, 15.19]
答え
上限 = 15.19
8.信頼区間
答え: σ = 9.828 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 10·5.6² = 313.6
σ² の限界
313.6/20.483 = 15.31
313.6/3.247 = 96.58
σ の限界
σ = √96.58 = 9.828 µm
答え
σ = 9.828 µm
σ の 95% 区間：[3.913, 9.828] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.1443
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (99.27 − 100)/0.5 = −1.46
裾の面積
Φ(1.46) = 0.9279
1 − Φ(1.46) = 0.0721
p 値
p = 2·0.0721 = 0.1443
答え
p = 0.1443
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: U = 112.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.96·20/√25 = 7.84
区間の端
U = 104.4 + 7.84 = 112.2
答え
U = 112.2
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9974
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2166 − 30·328/5 = 198
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 22502 − 328²/5 = 985.2
相関係数
r = 198/√(40·985.2) = 0.9974
答え
r = 0.9974
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.152
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 136/6 = 22.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
回帰直線
b = −26/17.5 = −1.486
a = 22.67 − (−1.486)·3.5 = 27.87
ŷ = 27.87 − 1.486·x
予測値
ŷ = 27.87 + (−1.486)·2.5 = 24.15
残差
e = 22 − 24.15 = −2.152
答え
e = −2.152
点は直線より下にあります。
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