統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：54, 21, 48, 11, 57, 38, 17。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。66 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 8x = 66

z =

3.確率ふつう

公正なさいころを 6 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 6

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.6k = 4

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9015 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9015

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点60%

x = 点

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 11.5 です。同じデータから求めた 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

90%n₁ = 25E₁ = 11.599%

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。

n = 21s = 6.8 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 47.56、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 47.56s = 10n = 81

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 390%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 72 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 72

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 18.79

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 246/7 = 35.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 18.86² + (−14.14)² + 12.86² + (−24.14)² + 21.86² + 2.857² + (−18.14)² = 2119

標準偏差

s = √(2119/6) = 18.79

答え

s = 18.79

2.記述統計

答え: z = −0.5

標準化する

z = (66 − 70)/8 = −0.5

答え

z = −0.5

3.確率

答え: P = 0.6651

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答え

P = 0.6651

4.確率

答え: P = 0.2322

二項分布の公式

P(X = 4) = 70·0.6⁴·0.4⁴ = 70·0.1296·0.0256 = 0.2322

答え

P = 0.2322

5.正規分布

答え: z = −1.29

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9015 = 0.0985

z 表を逆に読む

表の中で 0.0985 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.29

答え

z = −1.29

6.正規分布

答え: x = 96.3 点

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点

答え

x = 96.3 点

7.信頼区間

答え: E₂ = 18.01

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/25) = 1.566

新しい誤差の幅

E₂ = 11.5·1.566 = 18.01

答え

E₂ = 18.01

8.信頼区間

答え: σ = 9.82 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 20·6.8² = 924.8

σ² の限界

924.8/34.17 = 27.06

924.8/9.591 = 96.42

σ の限界

σ = √96.42 = 9.82 µm

答え

σ = 9.82 µm

σ の 95% 区間：[5.202, 9.82] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.196

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

検定統計量

t = (47.56 − 50)/1.111 = −2.196

答え

t = −2.196

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 8

n について解く

n = (1.645·5/3)² = 7.517

切り上げる

n = 8

答え

n = 8

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9852

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 173.2

相関係数

r = 82/√(40·173.2) = 0.9852

答え

r = 0.9852

12.線形回帰と相関

答え: x = 7.055

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 331/5 = 66.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

回帰直線

b = 220/40 = 5.5

a = 66.2 − 5.5·6 = 33.2

ŷ = 33.2 + 5.5·x

x について解く

x = (72 − 33.2)/5.5 = 7.055

答え

x = 7.055

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