記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 47, 17, 47, 30, 33。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。167.5 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 5x = 167.5
P =
3.確率ふつう
袋に赤玉 3 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
3 / 3
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 9p = 0.4k = 4
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。247.5 から 251 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 247.5x2 = 251
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 80% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
7.信頼区間ふつう
15 個からなる標本の平均は 102.5、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 15x̄ = 102.5s = 1299%t(14) = 2.977
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 14 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 14E = 595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：6 人の学生、平均点 120、標準偏差 5.5。グループ 2：6 人の学生、平均点 117、標準偏差 11。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 6x̄₁ = 120s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 117s₂ = 11
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 100 人、治療 B の患者 200 人中 130 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 130n₂ = 200
z =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 5
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.03
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 233/6 = 38.83
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 20.17² + 8.167² + (−21.83)² + 8.167² + (−8.833)² + (−5.833)² = 1129
標準偏差
s = √(1129/5) = 15.03
答え
s = 15.03
2.記述統計
答え: P = 0.6915
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
3.確率
答え: P = 0.2
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2
答え
P = 0.2
4.確率
答え: P = 0.2508
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 4) = 126·0.44·0.65 = 126·0.0256·0.07776 = 0.2508
答え
P = 0.2508
5.正規分布
答え: P = 0.2707
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (247.5 − 250)/5 = −0.5
z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2
間の面積
P = Φ(0.2) − Φ(−0.5) = 0.5793 − 0.3085 = 0.2707
答え
P = 0.2707
6.正規分布
答え: x = 254.2 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.8
表からの z
z ≈ 0.84
元の単位に戻す
x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g
答え
x = 254.2 g
7.信頼区間
答え: 下限 = 93.28
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 14, t = 2.977
誤差の幅
E = 2.977·12/√15 = 9.224
区間
102.5 ± 9.224 → [93.28, 111.7]
答え
下限 = 93.28
8.信頼区間
答え: n = 31
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·14/5)² = 30.12
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 31
答え
n = 31
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.5975
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (5·5.5² + 5·11²)/10 = 75.63
sp = 8.696
標準誤差
SE = 8.696·√(1/6 + 1/6) = 5.021
検定統計量
t = (120 − 117)/5.021 = 0.5975
答え
t = 0.5975
df = 10 のとき、両側 5% の臨界値は 2.228 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: z = −3.034
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 100/200 = 0.5
p̂₂ = 130/200 = 0.65
p̂ = 230/400 = 0.575
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.575·0.425·(1/200 + 1/200)) = 0.04943
検定統計量
z = (0.5 − 0.65)/0.04943 = −3.034
答え
z = −3.034
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9661
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 534/5 = 106.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1393
決定係数
r² = 232²/(40·1393) = 0.9661
答え
r² = 0.9661
y の変動の約 96.61% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 9.05
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 53/5 = 10.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
回帰直線
b = 62/40 = 1.55
a = 10.6 − 1.55·6 = 1.3
ŷ = 1.3 + 1.55·x
予測
ŷ = 1.3 + 1.55·5 = 9.05
答え
ŷ = 9.05
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