統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 14, 47, 13, 55。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。76 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 10x = 76

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.15, 0.25, 0.3, 0.2

σ =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.35, 0.15, 0.35Y = 0.5X + 20

σ_Y =

5.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。50 から 83.5 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 83.5

P =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点40%

x = 点

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 9.5 です。同じデータから求めた 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

95%n₁ = 36E₁ = 9.590%

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 0.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。

n = 20s = 0.9 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 48.8、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 48.8s = 8n = 36

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 295%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 25.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 25.5

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 22.42

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 188/5 = 37.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 21.4² + (−23.6)² + 9.4² + (−24.6)² + 17.4² = 2011

標準偏差

s = √(2011/4) = 22.42

答え

s = 22.42

2.記述統計

答え: P = 0.7257

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答え

P = 0.7257

3.確率

答え: σ = 1.236

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.2 = 2.35

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.2 = 7.05

分散

Var(X) = 7.05 − 2.35² = 1.528

σ = √1.528 = 1.236

答え

σ = 1.236

4.確率

答え: σ_Y = 0.55

X のばらつき

μ = 1.7, Var(X) = 1.21, σ_X = 1.1

一次変換

σ_Y = |0.5|·1.1 = 0.55

答え

σ_Y = 0.55

平均は変化します：E(Y) = 0.5·1.7 + 20 = 20.85。

5.正規分布

答え: P = 0.901

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5

z₂ = (83.5 − 65)/10 = 1.85

間の面積

P = Φ(1.85) − Φ(−1.5) = 0.9678 − 0.06681 = 0.901

答え

P = 0.901

6.正規分布

答え: x = 96.3 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点

答え

x = 96.3 点

7.信頼区間

答え: E₂ = 7.973

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/36) = 0.8393

新しい誤差の幅

E₂ = 9.5·0.8393 = 7.973

答え

E₂ = 7.973

8.信頼区間

答え: σ = 1.314 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 19·0.9² = 15.39

σ² の限界

15.39/32.852 = 0.4685

15.39/8.907 = 1.728

σ の限界

σ = √1.728 = 1.314 µm

答え

σ = 1.314 µm

σ の 95% 区間：[0.6844, 1.314] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (48.8 − 50)/1.333 = −0.9

答え

t = −0.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 25

n について解く

n = (1.96·5/2)² = 24.01

切り上げる

n = 25

答え

n = 25

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9898

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 401/5 = 80.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1083

相関係数

r = 206/√(40·1083) = 0.9898

答え

r = 0.9898

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 111

平均

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 666/6 = 111

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 693

回帰直線

b = 693/157.5 = 4.4

a = 111 − 4.4·25.5 = −1.2

ŷ = −1.2 + 4.4·x

予測

ŷ = −1.2 + 4.4·25.5 = 111

答え

ŷ = 111

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