統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 13, 22, 52, 26, 14。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。173.2 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 8x = 173.2
P =
3.確率ふつう
赤: 4青: 7

袋に赤玉 4 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 7
P =
4.確率むずかしい
xp(x)00.320.3540.160.25μ

X は示された分布をもち、Y = 3X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.25Y = 3X + 5
σY =
5.正規分布ふつう
−3−2−10123z−z から z の間の色つき面積 = 0.7499

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7499 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.7499
z =
6.正規分布むずかしい
10 cm0X − Y?

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 9, sd​ = 4.90LUd̄ = 2.9E = ?90%

9 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 2.9、標準偏差は 4.9 です。 差の平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 9d̄ = 2.9sd = 4.990%t(8) = 1.86
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

母標準偏差は 25 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 25E = 495%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.98401.984

学生 100 人の標本の平均点は 497.9、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 497.9s = 15n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.05βσ = 18, 検出力 90%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 18 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 90%δ = 5σ = 18zα = 1.645zβ = 1.282
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy2941262282610321237xy51010203040

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy254116148201021xy5105101520x = 9

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (9, 24) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(9, 24)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.88

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 170/6 = 28.33

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 14.67² + (−15.33)² + (−6.333)² + 23.67² + (−2.333)² + (−14.33)² = 1261

標準偏差

s = √(1261/5) = 15.88

答え

s = 15.88
2.記述統計

答え: P = 0.3446

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答え

P = 0.3446
3.確率

答え: P = 0.1091

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091

答え

P = 0.1091
4.確率

答え: σY = 6.867

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.6, Var(X) = 5.24, σX = 2.289

一次変換

σY = |3|·2.289 = 6.867

答え

σY = 6.867

平均は変化します：E(Y) = 3·2.6 + 5 = 12.8。

5.正規分布

答え: z = 1.15

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.7499)/2 = 0.8749

z 表を逆に読む

表の中で 0.8749 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.15

答え

z = 1.15
6.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389
7.信頼区間

答え: E = 3.038 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 8, t = 1.86

誤差の幅

E = 1.86·4.9/√9 = 3.038

答え

E = 3.038 mmHg
8.信頼区間

答え: n = 151

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·25/4)² = 150.1

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 151

答え

n = 151
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5

検定統計量

t = (497.9 − 500)/1.5 = −1.4

答え

t = −1.4
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 112

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 1.282)·18/5)² = 111

切り上げる

n = 112

答え

n = 112
11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9843

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 138/6 = 23

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Syy = Σ(y − ȳ)² = 604

決定係数

r² = 204²/(70·604) = 0.9843

答え

r² = 0.9843

y の変動の約 98.43% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.65

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 71/5 = 14.2

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

回帰直線

b = 82/40 = 2.05
a = 14.2 − 2.05·6 = 1.9
ŷ = 1.9 + 2.05·x

予測値

ŷ = 1.9 + 2.05·9 = 20.35

残差

e = 24 − 20.35 = 3.65

答え

e = 3.65

点は直線より上にあります。

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