記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 53, 48, 56, 11, 53, 54。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。400 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 50x = 400
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35
σ =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 2X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.35, 0.2, 0.3, 0.05Y = 2X + 5
σY =
5.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。454 から 550 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 550
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
7.信頼区間ふつう
6 個からなる標本の平均は 62.5、標準偏差は s = 15 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 6x̄ = 62.5s = 1599%t(5) = 4.032
上限 =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.1 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。
n = 15s = 10.1 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 120.8、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 120.8s = 4n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 502.5 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 502.5σ = 5n = 25α = 0.10
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4.5, 65) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(4.5, 65)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 16.14
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 330/7 = 47.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 7.857² + 5.857² + 0.8571² + 8.857² + (−36.14)² + 5.857² + 6.857² = 1563
標準偏差
s = √(1563/6) = 16.14
答え
s = 16.14
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (400 − 500)/50 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: σ = 11.45
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.2 + 20·0.25 + 30·0.2 + 40·0.35 = 27
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.2 + 400·0.25 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 860
分散
Var(X) = 860 − 27² = 131
σ = √131 = 11.45
答え
σ = 11.45
4.確率
答え: σY = 2.216
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 2.85, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
一次変換
σY = |2|·1.108 = 2.216
答え
σY = 2.216
平均は変化します：E(Y) = 2·2.85 + 5 = 10.7。
5.正規分布
答え: P = 0.7693
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
間の面積
P = Φ(1.25) − Φ(−1.15) = 0.8944 − 0.1251 = 0.7693
答え
P = 0.7693
6.正規分布
答え: x = 458 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.15
表からの z
z ≈ −1.04
元の単位に戻す
x = 500 − 1.04·40 = 458 h
答え
x = 458 h
7.信頼区間
答え: 上限 = 87.19
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 4.032
誤差の幅
E = 4.032·15/√6 = 24.69
区間
62.5 ± 24.69 → [37.81, 87.19]
答え
上限 = 87.19
8.信頼区間
答え: σ = 7.394 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 14·10.1² = 1428
σ² の限界
1428/26.119 = 54.68
1428/5.629 = 253.7
σ の限界
σ = √54.68 = 7.394 µm
答え
σ = 7.394 µm
σ の 95% 区間：[7.394, 15.93] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.6
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5
検定統計量
t = (120.8 − 120)/0.5 = 1.6
答え
t = 1.6
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 88.84 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 + 1.282·1 = 501.3
真の平均のもとでの z
z = (501.3 − 502.5)/1 = −1.218
電力
検出力 = P(Z > −1.218) = 88.84%
1 − β = 88.84%
答え
1 − β = 88.84%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.983
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 99/6 = 16.5
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 137
Syy = Σ(y − ȳ)² = 277.5
相関係数
r = 137/√(70·277.5) = 0.983
答え
r = 0.983
12.線形回帰と相関
答え: e = −5.2
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 340/5 = 68
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
回帰直線
b = 44/10 = 4.4
a = 68 − 4.4·4 = 50.4
ŷ = 50.4 + 4.4·x
予測値
ŷ = 50.4 + 4.4·4.5 = 70.2
残差
e = 65 − 70.2 = −5.2
答え
e = −5.2
点は直線より下にあります。
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