記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：50, 12, 35, 26, 31, 43, 28。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。65 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 5x = 65
P =
3.確率ふつう
14 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 14k = 3
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 12 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.6k = 3
P =
5.正規分布ふつう
ボルト の質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 16 個の合計質量が 632.8 g を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16< 632.8 g
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点5%
x = 点
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 100 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 5.1 です。 同じ研究で代わりに 900 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？
95%n₁ = 100E₁ = 5.1n₂ = 900
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.3 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21s = 6.3 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 501.2、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 501.2s = 5n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 20 であることがわかっています。実際の平均は 506.5 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 506.5σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (23, 116) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(23, 116)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.29
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 225/7 = 32.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 17.86² + (−20.14)² + 2.857² + (−6.143)² + (−1.143)² + 10.86² + (−4.143)² = 906.9
標準偏差
s = √(906.9/6) = 12.29
答え
s = 12.29
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: N = 364
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
答え
N = 364
4.確率
答え: P = 0.01246
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 220·0.63·0.49 = 220·0.216·0.0002621 = 0.01246
答え
P = 0.01246
5.正規分布
答え: P = 0.06681
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 640 g, σT = 1.2·√16 = 4.8 g
標準化する
z = (632.8 − 640)/4.8 = −1.5
確率
P = Φ(−1.5) = 0.06681
答え
P = 0.06681
6.正規分布
答え: x = 75.4 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.05
表からの z
z ≈ −1.64
元の単位に戻す
x = 100 − 1.64·15 = 75.4 点
答え
x = 75.4 点
7.信頼区間
答え: E₂ = 1.7
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(100/900) = 0.3333
新しい誤差の幅
E₂ = 5.1·0.3333 = 1.7
答え
E₂ = 1.7
8.信頼区間
答え: σ = 4.82 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 20·6.3² = 793.8
σ² の限界
793.8/34.17 = 23.23
793.8/9.591 = 82.77
σ の限界
σ = √23.23 = 4.82 µm
答え
σ = 4.82 µm
σ の 95% 区間：[4.82, 9.098] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.4
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
検定統計量
t = (501.2 − 500)/0.5 = 2.4
答え
t = 2.4
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 83.02 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 500 + 1.645·2.5 = 504.1
真の平均のもとでの z
z = (504.1 − 506.5)/2.5 = −0.955
電力
検出力 = P(Z > −0.955) = 83.02%
1 − β = 83.02%
答え
1 − β = 83.02%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9277
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 204/5 = 40.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 258.8
決定係数
r² = 98²/(40·258.8) = 0.9277
答え
r² = 0.9277
y の変動の約 92.77% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = 4.629
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 600/6 = 100
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 398
回帰直線
b = 398/70 = 5.686
a = 100 − 5.686·21 = −19.4
ŷ = −19.4 + 5.686·x
予測値
ŷ = −19.4 + 5.686·23 = 111.4
残差
e = 116 − 111.4 = 4.629
答え
e = 4.629
点は直線より上にあります。
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