記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：44, 27, 60, 58, 26, 36, 43。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。80 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 10x = 80
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35
Var(X) =
4.確率むずかしい
部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.4
P =
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。32 から 38 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 38
P =
6.正規分布むずかしい
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 64 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 5.4 です。 576 個の観測値に基づく 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90%n₁ = 64E₁ = 5.495%n₂ = 576
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30s = 2.9 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 119.3、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 119.3s = 4n = 25
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 201.4 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200μ = 201.4σ = 10n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 19 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 19
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.55
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 294/7 = 42
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 2² + (−15)² + 18² + 16² + (−16)² + (−6)² + 1² = 1102
標準偏差
s = √(1102/6) = 13.55
答え
s = 13.55
2.記述統計
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答え
P = 0.8413
3.確率
答え: Var(X) = 1.45
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.25 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.35 = 1.5
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.35 = 3.7
分散
Var(X) = 3.7 − 1.5² = 1.45
答え
Var(X) = 1.45
4.確率
答え: P = 0.03023
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.611 = 0.003628
P(X = 1) = 11·0.4·0.610 = 0.02661
足し合わせる
P = 0.003628 + 0.02661 = 0.03023
答え
P = 0.03023
5.正規分布
答え: P = 0.3413
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
間の面積
P = Φ(1) − Φ(0) = 0.8413 − 0.5 = 0.3413
答え
P = 0.3413
6.正規分布
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
標準化する
z = (0 − 4)/5 = −0.8
確率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答え
P = 0.7881
7.信頼区間
答え: E₂ = 2.145
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/576) = 0.3972
新しい誤差の幅
E₂ = 5.4·0.3972 = 2.145
答え
E₂ = 2.145
8.信頼区間
答え: σ = 3.899 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 29·2.9² = 243.9
σ² の限界
243.9/45.722 = 5.334
243.9/16.047 = 15.2
σ の限界
σ = √15.2 = 3.899 µm
答え
σ = 3.899 µm
σ の 95% 区間：[2.31, 3.899] µm。
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.875
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
検定統計量
t = (119.3 − 120)/0.8 = −0.875
答え
t = −0.875
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 40.32 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 200 + 1.645·1 = 201.6
真の平均のもとでの z
z = (201.6 − 201.4)/1 = 0.245
電力
検出力 = P(Z > 0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
答え
1 − β = 40.32%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9794
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 464/6 = 77.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 504
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1681
相関係数
r = 504/√(157.5·1681) = 0.9794
答え
r = 0.9794
12.線形回帰と相関
答え: x = 4.568
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35.5
回帰直線
b = −35.5/17.5 = −2.029
a = 21.17 − (−2.029)·3.5 = 28.27
ŷ = 28.27 − 2.029·x
x について解く
x = (19 − 28.27)/(−2.029) = 4.568
答え
x = 4.568
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