記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 54, 50, 18, 53。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。50 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 10x = 50
z =
3.確率ふつう
8 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 8k = 3
N =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 9p = 0.4k = 1
P =
5.正規分布ふつう
袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。247.5 から 257.5 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 250σ = 5x1 = 247.5x2 = 257.5
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの下位 90% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点90%
x = 点
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 4.3 です。 100 個の観測値に基づく 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
99%n₁ = 25E₁ = 4.390%n₂ = 100
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.15E = 0.0490%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
15 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 10.32、差の標準偏差は 10.8 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 15d̄ = 10.32sd = 10.8
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 1.5σ = 5zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (16.5, 69) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(16.5, 69)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.86
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 193/5 = 38.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−20.6)² + 15.4² + 11.4² + (−20.6)² + 14.4² = 1423
標準偏差
s = √(1423/4) = 18.86
答え
s = 18.86
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (50 − 70)/10 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: N = 56
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
答え
N = 56
4.確率
答え: P = 0.06047
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 1) = 9·0.41·0.68 = 9·0.4·0.0168 = 0.06047
答え
P = 0.06047
5.正規分布
答え: P = 0.6247
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (247.5 − 250)/5 = −0.5
z₂ = (257.5 − 250)/5 = 1.5
間の面積
P = Φ(1.5) − Φ(−0.5) = 0.9332 − 0.3085 = 0.6247
答え
P = 0.6247
6.正規分布
答え: x = 119.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.9
表からの z
z ≈ 1.28
元の単位に戻す
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 点
答え
x = 119.2 点
7.信頼区間
答え: E₂ = 1.373
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(25/100) = 0.3193
新しい誤差の幅
E₂ = 4.3·0.3193 = 1.373
答え
E₂ = 1.373
8.信頼区間
答え: n = 216
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.15·0.85/0.04² = 215.6
切り上げる
n = 216
答え
n = 216
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.701
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 10.8/√15 = 2.789
検定統計量
t = 10.32/2.789 = 3.701
答え
t = 3.701
df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 112
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·5/1.5)² = 111.5
切り上げる
n = 112
答え
n = 112
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9245
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 84.8
決定係数
r² = −28²/(10·84.8) = 0.9245
答え
r² = 0.9245
y の変動の約 92.45% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = 3.481
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 569/6 = 94.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 769.5
回帰直線
b = 769.5/157.5 = 4.886
a = 94.83 − 4.886·22.5 = −15.1
ŷ = −15.1 + 4.886·x
予測値
ŷ = −15.1 + 4.886·16.5 = 65.52
残差
e = 69 − 65.52 = 3.481
答え
e = 3.481
点は直線より上にあります。
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