公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。32.3 から 44 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 79.5 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2：30 台、平均 85 h、既知の標準偏差 20 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.3 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
20 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 1.62、差の標準偏差は 2.5 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 1 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 7 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 21.5 のときの ŷ を予測しなさい。
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
カイ二乗適合度検定で、8 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。 この検定の自由度 df はいくつですか？
答え: P = 0.4573
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: x = 473 h
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: E = 6.626 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
答え: σ = 8.469 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
σ の 95% 区間：[5.017, 8.469] µm。
答え: t = 2.898
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
df = 19 のとき、両側 5% の臨界値は 2.093 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
答え: n = 420
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
答え: r² = 0.7035
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
y の変動の約 70.35% が直線で説明されます。
答え: ŷ = 58.6
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: χ² = 3.297
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。
答え: df = 7
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
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