公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1056 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 90.5 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2：80 台、平均 97.5 h、既知の標準偏差 3 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
母標準偏差は 39 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：100 個の部品の標本の平均長さは 84 mm で、ラインの既知の標準偏差は 12 mm です。ライン 2：100 個の部品の標本の平均は 80 mm、既知の標準偏差は 7 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (19.5, 81) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
2 行 4 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
答え: z = 1.25
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.8944 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 56.58 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: E = 2.194 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
答え: n = 1615
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: z = 2.879
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: n = 374
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
答え: r = 0.9765
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: e = −4.35
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
点は直線より下にあります。
答え: χ² = 0.7902
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
答え: χ²crit = 7.815
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference