公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。460 から 542 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 10% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 142 h、既知の標準偏差 14 h。機種 2：80 台、平均 145 h、既知の標準偏差 7 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
母標準偏差は 30 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
11 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 2.7、差の標準偏差は 6.9 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 3 であることがわかっています。実際の平均は 99.4 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4, 41) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「職員、バス」の期待度数 E を求めなさい。
3 行 6 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
答え: P = 0.6945
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: x = 256.4 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
答え: 上限 = 2.074 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
答え: n = 153
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = 1.298
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
df = 10 のとき、両側 5% の臨界値は 2.228 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
答え: 1 − β = 46.73 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
答え: r² = 0.9794
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
y の変動の約 97.94% が直線で説明されます。
答え: e = −3.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
点は直線より下にあります。
答え: E = 20.33
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
答え: χ²crit = 23.21
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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