公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。29.3 から 35.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。
12 個からなる標本の平均は 94.5、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：9 区画、平均収量 65.5 kg、標準偏差 4 kg。区画群 2：8 区画、平均 65 kg、標準偏差 1 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
学生 16 人の標本の平均点は 195.6、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
81 回の測定の標本平均は 202.7 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 19 のときの ŷ を予測しなさい。
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
答え: P = 0.3825
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: x = 533.7 h
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: 上限 = 104.9
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: 下限 = −3.796 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
答え: t = −2.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: L = 198.4
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
答え: r = −0.9799
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: ŷ = 51.11
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: χ² = 1.515
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。
答え: χ²crit = 15.51
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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