公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4108 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。
16 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 1.7、標準偏差は 3.6 です。 差の平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.3 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：60 個の部品の標本の平均長さは 143.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 4 mm です。ライン 2：30 個の部品の標本の平均は 144 mm、既知の標準偏差は 4 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 12.5 であることがわかっています。実際の平均は 507 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 76 と予測するのは、どの値 x のときですか？
分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「夜勤、欠陥なし」の期待度数 E を求めなさい。
表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。
答え: z = 0.54
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.7054 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 27.95 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: 下限 = −0.9523 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
答え: σ = 3.627 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
σ の 95% 区間：[1.684, 3.627] µm。
答え: z = −0.559
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
答え: 1 − β = 68.23 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
答え: r = 0.9912
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: x = 6.043
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: E = 12.33
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
答え: χ² = 5.667
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
χ² は臨界値より小さいので、H₀ は棄却されません：関連を示す有意な証拠はありません。
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