はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 6 m の位置に集中荷重 P が、A から 3 m の位置に時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。
L = 8 mP = 60 kN 位置 6 mM = 20 kN·m (時計回り) 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 8 mP = 15 kN 位置 4 mw = 3 kN/m（1 から 8 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP1 = 20 kN 位置 2 mP2 = 55 kN 位置 5 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
10 kN @ 0 m10 kN @ 6 m45 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 35 kN ↓C: 10 kN ↓G: 25 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 35 kN水平荷重 = 5 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 9 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 95 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 47.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
A まわりのモーメント
反時計回りを正とします。
ΣMA = 0: RB·8 − 60·6 − 20 = 0
RB = 380/8 = 47.5 kN
鉛直方向のつり合い
RA = 60 − 47.5 = 12.5 kN
答え
RB = 47.5 kN
負の反力は下向きに作用します。
2.はりの支点反力
答え: RA = 16.69 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 3·7·4.5
RB = 154.5/8 = 19.31 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 19.31 = 16.69 kN
答え
RA = 16.69 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 157.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 20·2 + 55·5
RB = 315/10 = 31.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 31.5 = 43.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 43.5·2 = 87 kN·m
荷重点 P2: M = RB·5 = 31.5·5 = 157.5 kN·m
最大値
Mmax = 157.5 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 157.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 45.67 kN, R2 = 37.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −10, MC = 22.67 kN·m, MD = 4.333, ME = −20, MF = −10, MG = 0
答え
点 C: MC = 22.67 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 DH
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 D
CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 32.81 kN (T), BC: 32.81 kN (T), CD: 19.69 kN (T), DE: 19.69 kN (T), FG: 39.37 kN (C), GH: 39.37 kN (C), AF: 54.69 kN (C), HE: 32.81 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 10.94 kN (T), HC: 32.81 kN (T)
答え
ゼロ部材: DH
6.トラス：節点法
答え: FAC = 17.22 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 + 5·3 → Cy = 25.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 25.83 = 9.167 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25.83/0.8321 = −31.05 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31.05)·0.5547 = 17.22 kN
答え
FAC = 17.22 kN (引張)
7.はりのたわみ
答え: δP = 4 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 9000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·1000²·4000²/(3·2.4 × 10¹²·5000) = 4 mm
答え
δP = 4 mm
8.はりのたわみ
答え: hreq = 187.1 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 6.818 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·6.818 × 10⁷/125)1/3 = 187.1 mm
答え
hreq = 187.1 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
9.柱の座屈
答え: Pcr = 17.27 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17.27 kN
答え
Pcr = 17.27 kN
10.柱の座屈
答え: d = 58.57 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.57 mm
答え
d = 58.57 mm
確認：細長比 KL/r は 136.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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