構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 75 kNM = 40 kN·mABRB​ = ?1 m3 m4 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 1 m の位置に集中荷重 P が、A から 4 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 75 kN 位置 1 mM = 40 kN·m (反時計回り) 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 20 kN, 45°Q = 75 kNABRA​ = ?1 m5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 1 m の位置に水平と 45° をなす荷重 P が、A から 6 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 8 mP = 20 kN 位置 1 m, θ = 45°Q = 75 kN 位置 6 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 6 kN/mAB断面0.5 m5.5 m

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
20 kN50 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 0 m50 kN @ 6 m30 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN8 m5 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN30 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 30 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 14 kNABδ0.5 m1.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 14 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 8 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 40 kNL = 6 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 40 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 4.375 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·8 − 75·1 + 40 = 0
RB = 35/8 = 4.375 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 75 − 4.375 = 70.63 kN

答え

RB = 4.375 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: RA = 34.19 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 20·sin 45° = 14.14 kN
Ph = 20·cos 45° = 14.14 kN

反力

ΣMA = 0: RB·8 = 14.14·1 + 75·6 → RB = 58.02 kN
Ay = 14.14 + 75 − 58.02 = 31.12 kN
Ax = Ph = 14.14 kN

A での合力

RA = √(14.14² + 31.12²) = 34.19 kN

答え

RA = 34.19 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 8.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18断面0.5 m5.5 m

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 18·0.5 − 6·0.5·0.25 = 8.25 kN·m

答え

Mx = 8.25 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 3.333 kN, R2 = 96.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −20, MC = −36.67, MD = −53.33, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

答え

点 E: ME = −100 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −32.8 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 → Cy = 28.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 28.13 = 16.88 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/5.831 = 0.5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.88/0.5145 = −32.8 kN

答え

FAB = −32.8 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 13.13 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 + 30·4 → Cy = 52.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 52.5 = −22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −52.5/0.9701 = −54.12 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−54.12)·0.2425 = 13.13 kN

答え

FAC = 13.13 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δB = 3.819 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 0.6944 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.002083 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3.819 mm

答え

δB = 3.819 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 40.5 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·6000⁴/(384·200000·16.67) = 4.05 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 40.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 40.5 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 38.59 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN

答え

Pcr = 38.59 kN
10.柱の座屈

答え: d = 57.78 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 57.78 mm

答え

d = 57.78 mm

確認：細長比 KL/r は 207.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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