構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 20 kNM = 10 kN·mABRA​ = ?8 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 8 m の位置に集中荷重 P が、A から 9 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

L = 10 mP = 20 kN 位置 8 mM = 10 kN·m (反時計回り) 位置 9 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w0​ = 20 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?6 m4 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 20 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 6 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 55 kN 位置 6 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mAB断面0.5 m4.5 m

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
6 kN/m45 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 6 m15 kN @ 3 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN5 m3 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB35 kN25 kN8 m6 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 35 kN水平荷重 = 25 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 13 kNABδ1.5 m1 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 13 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2.5 kN/mABδ4.5 m

幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 2.5 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·10 − 20·8 + 10 = 0
RB = 150/10 = 15 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 20 − 15 = 5 kN

答え

RA = 5 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: MA = 663.3 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

MA = W·x̄ + P·a = 100·3.333 + 55·6 = 663.3 kN·m

答え

MA = 663.3 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 5.625 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 12.5RB​ = 12.5断面0.5 m4.5 m

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 12.5·0.5 − 5·0.5·0.25 = 5.625 kN·m

答え

Mx = 5.625 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 5 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 12 kN, R2 = 78 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 9, MC = 12, MD = 9, ME = −15, MF = −45 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −45 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −29.7 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21 = 14 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21/0.7071 = −29.7 kN

答え

FBC = −29.7 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 32.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 + 25·2 → Cy = 32.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 32.5 = 2.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32.5/0.7071 = −45.96 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−45.96)·0.7071 = 32.5 kN

答え

FAC = 32.5 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δB = 3.482 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 1.741 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001741 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3.482 mm

答え

δB = 3.482 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 226.7 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4500⁴/(384·11000·12.5) = 9.708 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·9.708 × 10⁷/100)1/3 = 226.7 mm

答え

hreq = 226.7 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 67.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

答え

Pcr = 67.29 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 25.18 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6.25 = 280

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

答え

σcr = 25.18 MPa

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