構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​2.5 m0.5 m3 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 10 kN 位置 2.5 mP2 = 50 kN 位置 3 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 12 kN/mP = 50 kNABCRA​ = ?2 m2 m0.5 m1.5 m

はりは A でピン支点、A から 4.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用し、2 m から 6 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 50 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（2 から 6 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
15 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

15 kN @ 4 m25 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 50 kNAB断面2 m1.5 m0.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 50 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN5 m1 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN20 kN8 m6 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 20 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 2 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mP = 30 kNδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 30 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 30.83 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2.5 m0.5 m3 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 10·2.5 + 50·3
RB = 175/6 = 29.17 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 29.17 = 30.83 kN

答え

RA = 30.83 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 10.89 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = (2 + 6)/2 = 4 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4.5 = 50·4 + 48·4
RB = 392/4.5 = 87.11 kN
RA = 98 − 87.11 = 10.89 kN

答え

RA = 10.89 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 18.33 kN, R2 = 21.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 36.67, MC = 73.33, MD = 80, ME = 86.67 kN·m, MF = 43.33, MG = 0

答え

点 E: ME = 86.67 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 15.13 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 3·4·2
RB = 124/4 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 31 = 31 kN
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = 31RB​ = 31断面2 m1.5 m0.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 31·3.5 − 50·(3.5 − 2) − 3·3.5·1.75 = 15.13 kN·m

答え

Mx = 15.13 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −37.95 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 9 = 36 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0.9487 = −37.95 kN

答え

FAB = −37.95 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 6.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·6 − 20·2 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 6.25 = 8.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.25/0.7071 = −8.839 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8.839)·0.7071 = 6.25 kN

答え

FAC = 6.25 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δ = 2.041 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 2.041 mm

答え

δ = 2.041 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 58.59 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 30000·3000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 42.61 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 15.98 mm

足し合わせる

δmax = 42.61 + 15.98 = 58.59 mm

答え

δmax = 58.59 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 160.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1000 = 700 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/700² = 160173 N = 160.2 kN

答え

Pcr = 160.2 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 12.34 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/20 = 400

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

答え

σcr = 12.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis