はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 4 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 9 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における鉛直反力 RA を求めよ。
L = 10 mP = 40 kN 位置 9 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
はりは A でピン支点、A から 5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用し、4 m から 8 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。
AB = 5 mAC = 8 mP = 55 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（4 から 8 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 9.5 mw = 10 kN/m（0 から 9.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
xc = m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
F: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 20 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 16 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 60 kN
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
分布荷重の合力
W = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m
鉛直方向のつり合い
RA = P + W = 40 + 20 = 60 kN
答え
RA = 60 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 25 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
分布荷重の合力
W = 10·4 = 40 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 40·6
RB = 350/5 = 70 kN
RA = 95 − 70 = 25 kN
答え
RA = 25 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −1.5 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 9 − 3·3.5 = −1.5 kN
答え
Vx = −1.5 kN
4.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 7.719 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·9.5 = 95 kN、作用点 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·9.5·4.75
RB = 451.3/8 = 56.41 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56.41 = 38.59 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·38.59/10 = 7.719 m
答え
xc = 7.719 m
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 13.75 kN (T), BC: 12.5 kN (T), CD: 12.5 kN (T), DE: 11.25 kN (T), FG: 13.75 kN (C), GH: 11.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 15.91 kN (C), BF: 1.25 kN (C), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 1.768 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: FAB = −54.08 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·2 − 20·3 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 5 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0.8321 = −54.08 kN
答え
FAB = −54.08 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δP = 11.57 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 16000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3500²·2500²/(3·5.88 × 10¹²·6000) = 11.57 mm
答え
δP = 11.57 mm
8.はりのたわみ
答え: hreq = 194.5 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·20) = 7.67 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·7.67 × 10⁷/125)1/3 = 194.5 mm
答え
hreq = 194.5 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
9.柱の座屈
答え: Pcr = 324 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
答え
Pcr = 324 kN
10.柱の座屈
答え: d = 150.7 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 150.7 mm
答え
d = 150.7 mm
確認：細長比 KL/r は 265.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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