はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 3 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における鉛直反力 RA を求めよ。
L = 5 mP = 70 kN 位置 1.5 mw = 10 kN/m（0 から 3 m まで）
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 5 mP = 60 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（3 から 4 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 35 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓F: 30 kN →G: 20 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 23 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 100 kN
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
分布荷重の合力
W = 10·3 = 30 kN, x̄ = 1.5 m
鉛直方向のつり合い
RA = P + W = 70 + 30 = 100 kN
答え
RA = 100 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 39 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2 + 10·1·3.5
RB = 155/5 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 31 = 39 kN
答え
RA = 39 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 24 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 6 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·6 − 4·6·3 = 24 kN·m
答え
Mx = 24 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 66.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1.5 + 8·6·3
RB = 196.5/6 = 32.75 kN
ΣFy = 0: RA = 83 − 32.75 = 50.25 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50.25·1.5 − 8·1.5·0.75 = 66.38 kN·m
答え
Mx = 66.38 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAC = 4 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2 = 8 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2/0.4472 = −4.472 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4.472)·0.8944 = 4 kN
答え
FAC = 4 kN (引張)
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 52.5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 31.82 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 7.5 kN (T), CG: 0, DH: 47.5 kN (T), BG: 10.61 kN (C), DG: 17.68 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: θA = 0.0386 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 15·2500³/(24·2.53 × 10¹¹) = 0.0386 rad
答え
θA = 0.0386 rad
これは 2.212° です。
8.はりのたわみ
答え: δmax = 2.065 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2.065 mm
答え
δmax = 2.065 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 13.82 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/4000² = 13817 N = 13.82 kN
答え
Pcr = 13.82 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 69.94 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/6.25 = 168
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69.94 MPa
答え
σcr = 69.94 MPa
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