はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 35 kN 位置 1.5 mP2 = 20 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
はりは A でピン支点、A から 5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 3 m の位置に集中荷重 P が作用し、4 m から 8 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。
AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（4 から 8 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 7 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 10 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mM0 = 10 kN·m 時計回り、位置 7 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP = 40 kN 位置 7 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 15 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓F: 25 kN →G: 40 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 29 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 44.17 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
A まわりのモーメント
反時計回りを正とします。
ΣMA = 0: RB·3 = 35·1.5 + 20·4
RB = 132.5/3 = 44.17 kN
鉛直方向のつり合い
RA = 35 + 20 − 44.17 = 10.83 kN
答え
RB = 44.17 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 7.6 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
分布荷重の合力
W = 8·4 = 32 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 32·6
RB = 297/5 = 59.4 kN
RA = 67 − 59.4 = 7.6 kN
答え
RA = 7.6 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −7 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 10/10 = 1 kN (上向き)
RA = −RB = −1 kN (下向き)
偶力のすぐ左で切断
左側部分には RA だけが含まれます。
Mx = RA·a = −1·7 = −7 kN·m
答え
Mx = −7 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 147 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·7 + 6·10·5
RB = 580/10 = 58 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 58 = 42 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(7⁻) = RA − w·7 = 0 kN
V(7⁺) = 0 − 40 = −40 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·7 − w·7²/2 = 42·7 − 6·7²/2 = 147 kN·m
答え
Mmax = 147 kN·m
それは A から x = 7 m の位置に生じます。
5.トラス：節点法
答え: FAC = 9.375 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 → Cy = 9.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9.375 = 5.625 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9.375/0.7071 = −13.26 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.26)·0.7071 = 9.375 kN
答え
FAC = 9.375 kN (引張)
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 56.25 kN (T), BC: 61.25 kN (T), CD: 61.25 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 56.25 kN (C), GH: 36.25 kN (C), AF: 52.08 kN (C), HE: 60.42 kN (C), BF: 6.667 kN (T), CG: 0, DH: 48.33 kN (T), BG: 8.333 kN (C), DG: 41.67 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δ = 60.46 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 29000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 29000·2000³/(3·1.61 × 10¹²) = 48.03 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 12.42 mm
足し合わせる
δ = 48.03 + 12.42 = 60.46 mm
答え
δ = 60.46 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.569 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 15.69 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 4.998 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN
答え
Pcr = 4.998 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 111 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答え
σcr = 111 MPa
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