構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?3 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP1 = 10 kN 位置 3 mP2 = 35 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 75 kNABCRB​ = ?1 m4 m2 m3 m

はりは A でピン支点、A から 7 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用し、5 m から 10 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 7 mAC = 10 mP = 75 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（5 から 10 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
4 kN/m40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 8 m4 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 20 kNAB3.5 m1.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP = 20 kN 位置 3.5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN4 m3 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 25 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN15 kN5 m3 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 23 kNABδ2.5 m3.5 m

単純ばりの支点 A から a = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 23 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 8 kNP = 8 kNABδ1.667 m1.666 m1.667 m

単純ばりの 3 等分点（各支点から L/3）に等しい集中荷重 P が 2 つ作用する。重ね合わせを用いてスパン中央のたわみ δmax を求めよ。

P = 8 kNL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 m30 × 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 2.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 28.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 10 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​3 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 10·3 + 35·4
RB = 170/6 = 28.33 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28.33 = 16.67 kN

答え

RB = 28.33 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 26.79 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·7 = 75·1 + 15·7.5
RB = 187.5/7 = 26.79 kN
RA = 90 − 26.79 = 63.21 kN

答え

RB = 26.79 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 21.33 kN, R2 = 34.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 42.67, MC = 85.33, MD = 120, ME = 138.7 kN·m, MF = 69.33, MG = 0

答え

点 E: ME = 138.7 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 34.13 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3.5 + 5·5·2.5
RB = 132.5/5 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 26.5 = 18.5 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 1 kN
V(3.5⁺) = 1 − 20 = −19 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 18.5·3.5 − 5·3.5²/2 = 34.13 kN·m

答え

Mmax = 34.13 kN·m

それは A から x = 3.5 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FBC = −20.96 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18.75 = 6.25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.75/0.8944 = −20.96 kN

答え

FBC = −20.96 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 21 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 − 15·2 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 21 = 24 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21/0.7071 = −29.7 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−29.7)·0.7071 = 21 kN

答え

FAC = 21 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 38.82 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 23000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·2500²·3500²/(3·2.52 × 10¹²·6000) = 38.82 mm

答え

δP = 38.82 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 8.896 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 8000 N, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

L/3 の位置の 1 つの荷重

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 4.448 mm

両方の荷重を足す

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 8.896 mm

答え

δmax = 8.896 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 11.1 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/4000² = 11103 N = 11.1 kN

答え

Pcr = 11.1 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 36.26 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/7.5 = 233.3

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233.3² = 36.26 MPa

答え

σcr = 36.26 MPa

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