はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3 m の位置に集中荷重 P が、A から 0.5 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。
L = 5 mP = 25 kN 位置 3 mM = 50 kN·m (反時計回り) 位置 0.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 10 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 2 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 10 kN 位置 2 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP1 = 25 kN 位置 6 mP2 = 40 kN 位置 8 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 30 kN 位置 4 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
F: 40 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 10 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 3 mw = 6 kN/m
MA = kN·m
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 20 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
A まわりのモーメント
反時計回りを正とします。
ΣMA = 0: RB·5 − 25·3 + 50 = 0
RB = 25/5 = 5 kN
鉛直方向のつり合い
RA = 25 − 5 = 20 kN
答え
RA = 20 kN
負の反力は下向きに作用します。
2.はりの支点反力
答え: MA = 73.33 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
三角形分布荷重の合力
W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
壁まわりのモーメント
MA = W·x̄ + P·a = 20·2.667 + 10·2 = 73.33 kN·m
答え
MA = 73.33 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 108 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 25·6 + 40·8
RB = 470/10 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 47 = 18 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·6 = 18·6 = 108 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 47·2 = 94 kN·m
最大値
Mmax = 108 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 108 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 80 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4 + 10·6·3
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 50 = 40 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40·4 − 10·4·2 = 80 kN·m
答え
Mx = 80 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 73.33 kN (T), BC: 93.33 kN (T), CD: 93.33 kN (T), DE: 73.33 kN (T), FG: 73.33 kN (C), GH: 73.33 kN (C), AF: 91.67 kN (C), HE: 91.67 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 25 kN (C), DG: 25 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: FBC = −27.95 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·6 − 10·4 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 25 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0.8944 = −27.95 kN
答え
FBC = −27.95 kN (圧縮)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 1.327 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.327 mm
答え
δmax = 1.327 mm
8.はりのたわみ
答え: MA = 6.75 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6.75 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 27 − 20.25 = 6.75 kN·m
答え
MA = 6.75 kN·m
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.937 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2800² = 2937 N = 2.937 kN
答え
Pcr = 2.937 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 179 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa
答え
σcr = 179 MPa
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