はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 6 mP1 = 15 kN 位置 1 mP2 = 45 kN 位置 2 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
はりは A でピン支点、A から 3.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、2.5 m から 5 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。
AB = 3.5 mAC = 5 mP = 50 kN 位置 0.5 mw = 4 kN/m（2.5 から 5 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 60 kN 位置 2 mP2 = 55 kN 位置 3 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
G: 25 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 30 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 26 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 15 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 42.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 45·2
RB = 105/6 = 17.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 17.5 = 42.5 kN
答え
RA = 42.5 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 42.14 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
分布荷重の合力
W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = (2.5 + 5)/2 = 3.75 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·3.5 = 50·0.5 + 10·3.75
RB = 62.5/3.5 = 17.86 kN
RA = 60 − 17.86 = 42.14 kN
答え
RA = 42.14 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 178.1 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 60·2 + 55·3
RB = 285/8 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 35.63 = 79.38 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 79.38·2 = 158.8 kN·m
荷重点 P2: M = RB·5 = 35.63·5 = 178.1 kN·m
最大値
Mmax = 178.1 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 178.1 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 35.56 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·8·4
RB = 320/6 = 53.33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 53.33 = 26.67 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 26.67/10 = 2.667 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 26.67²/(2·10) = 35.56 kN·m
答え
Mmax = 35.56 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 16.67 kN (T), BC: 33.33 kN (T), CD: 33.33 kN (T), DE: 16.67 kN (T), FG: 16.67 kN (C), GH: 16.67 kN (C), AF: 20.83 kN (C), HE: 20.83 kN (C), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 12.5 kN (T), BG: 20.83 kN (C), DG: 20.83 kN (C)
答え
ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法
答え: FAC = 12.5 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·6 + 30·3 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 18.75 = −8.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.75/0.8321 = −22.53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.53)·0.5547 = 12.5 kN
答え
FAC = 12.5 kN (引張)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 11.3 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 11.3 mm
答え
δmax = 11.3 mm
8.はりのたわみ
答え: δmax = 20.49 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 20.49 mm
答え
δmax = 20.49 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 24.67 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24.67 kN
答え
Pcr = 24.67 kN
10.柱の座屈
答え: d = 45.86 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 45.86 mm
答え
d = 45.86 mm
確認：細長比 KL/r は 174.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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