構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m8 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP1 = 55 kN 位置 1 mP2 = 45 kN 位置 9 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 10 kNADCMA​ = ?6 m1 m3 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 6 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 10 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 7 m の位置の集中荷重 P である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 6 mAD = 10 mP = 10 kN 位置 7 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 25 kNABC2.5 m2.5 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 7 mP1 = 45 kN 位置 2.5 mP2 = 25 kN 位置 7 m支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 30 kNAB7 m1 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP = 30 kN 位置 7 mw = 8 kN/m（0 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN5 m2 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 25 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB50 kN25 kN8 m1 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 25 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 m20 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 54 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m8 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 45·9
RB = 460/10 = 46 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 46 = 54 kN

答え

RA = 54 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 45 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

ΣMC = 0: RD·4 = 10·1
RD = 2.5 kN
VC = 10 − 2.5 = 7.5 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 7.5 = 7.5 kN
MA = 7.5·6 = 45 kN·m

答え

MA = 45 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 31.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·5 = 45·2.5 + 25·7
RB = 287.5/5 = 57.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 57.5 = 12.5 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·2.5 = 12.5·2.5 = 31.25 kN·m

答え

Mx = 31.25 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 79.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·7 + 8·8·4
RB = 466/8 = 58.25 kN
ΣFy = 0: RA = 94 − 58.25 = 35.75 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − w·x0 = 0 → x0 = 35.75/8 = 4.469 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 35.75·4.469 − 8·4.469²/2 = 79.88 kN·m

答え

Mmax = 79.88 kN·m

それは A から x = 4.469 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FBC = −14.14 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 10 = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.7071 = −14.14 kN

答え

FBC = −14.14 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = −10.94 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·1 − 25·4 → Cy = −6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − −6.25 = 56.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6.25/0.4961 = 12.6 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(12.6)·0.8682 = −10.94 kN

答え

FAC = −10.94 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 28.01 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 28.01 mm

答え

δmax = 28.01 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.757 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN

答え

Pcr = 5.757 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 6.747 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12.5 = 320

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6.747 MPa

答え

σcr = 6.747 MPa

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