構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 25 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP1 = 25 kN 位置 3 mP2 = 10 kN 位置 5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 60 kN, 50°Q = 60 kNABRA​ = ?2.5 m2 m0.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 4.5 m の位置に水平と 50° をなす荷重 P が、A から 2.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 5 mP = 60 kN 位置 4.5 m, θ = 50°Q = 60 kN 位置 2.5 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
5 kN/m30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
55 kN10 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 0 m10 kN @ 12 m50 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN6 m2 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB25 kN25 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 25 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 6 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 1.5 kN/mABδ3 m

幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 115 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 22.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 25 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​3 m2 m5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 25·3 + 10·5
RB = 125/10 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 12.5 = 22.5 kN

答え

RA = 22.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 51.81 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 60·sin 50° = 45.96 kN
Ph = 60·cos 50° = 38.57 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 45.96·4.5 + 60·2.5 → RB = 71.37 kN
Ay = 45.96 + 60 − 71.37 = 34.6 kN
Ax = Ph = 38.57 kN

A での合力

RA = √(38.57² + 34.6²) = 51.81 kN

答え

RA = 51.81 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 25 kN, R2 = 25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 25, MC = 47.5, MD = 65 kN·m, ME = 47.5, MF = 25, MG = 0

答え

点 D: MD = 65 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 78.75 kN, R2 = 36.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −62.5, MD = −15, ME = 32.5, MF = −20, MG = 0

答え

点 B: MB = −110 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −33.54 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·2 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 15 = 30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.8944 = −33.54 kN

答え

FAB = −33.54 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = 23.44 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 + 25·4 → Cy = 43.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 43.75 = −18.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−18.75/0.8 = 23.44 kN

答え

FAB = 23.44 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δ = 71.05 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 71.05 mm

答え

δ = 71.05 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 120 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3000⁴/(384·11000·10) = 1.438 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.438 × 10⁷/100)1/3 = 120 mm

答え

hreq = 120 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 21.7 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21.7 kN

答え

Pcr = 21.7 kN
10.柱の座屈

答え: d = 48.57 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 48.57 mm

答え

d = 48.57 mm

確認：細長比 KL/r は 103 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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