構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​4 m0.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 60 kN 位置 4 mP2 = 15 kN 位置 4.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 60 kNQ = 60 kNADCMA​ = ?1.5 m2 m2 m0.5 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3.5 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 5.5 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 1.5 m の位置の集中荷重 Q である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 3.5 mAD = 6 mP = 60 kN 位置 5.5 mw = 2 kN/m（3.5 から 6 m まで）Q = 60 kN 位置 1.5 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mAB断面3.5 m0.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mAB3 m2 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 A から曲げモーメントが最大となる断面までの距離 x0 を求めよ。

L = 5 mw = 10 kN/m（0 から 3 m まで）
x0 = m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB30 kN6 m1 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN15 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 15 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 10 kN/mP = 7 kNABδ1.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 7 kNw = 10 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mAB3 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。

L = 3 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 m30 × 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 23.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​4 m0.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 60·4 + 15·4.5
RB = 307.5/6 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51.25 = 23.75 kN

答え

RA = 23.75 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 140.8 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 2·2.5 = 5 kN 位置 1.25 m 起点 C
ΣMC = 0: RD·2.5 = 60·2 + 5·1.25
RD = 50.5 kN
VC = 65 − 50.5 = 14.5 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 60 + 14.5 = 74.5 kN
MA = 60·1.5 + 14.5·3.5 = 140.8 kN·m

答え

MA = 140.8 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 7 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16断面3.5 m0.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·3.5 − 8·3.5·1.75 = 7 kN·m

答え

Mx = 7 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: x0 = 2.1 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3·1.5
RB = 45/5 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 9 = 21 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 21/10 = 2.1 m

答え

x0 = 2.1 m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −13.46 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 5 = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.3714 = −13.46 kN

答え

FBC = −13.46 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = 10.61 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 + 15·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 22.5 = −7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−7.5/0.7071 = 10.61 kN

答え

FAB = 10.61 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δ = 3.088 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 7000·1500³/(3·4.6 × 10¹²) = 1.712 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 1.376 mm

足し合わせる

δ = 1.712 + 1.376 = 3.088 mm

答え

δ = 3.088 mm
8.はりのたわみ

答え: MA = 16.88 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16.88 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

MA = wL²/2 − RB·L = 67.5 − 50.63 = 16.88 kN·m

答え

MA = 16.88 kN·m
9.柱の座屈

答え: Pcr = 10.36 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10.36 kN

答え

Pcr = 10.36 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 24.87 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa

答え

σcr = 24.87 MPa

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