構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w = 3 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?5 m5 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、壁から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 10 mP = 30 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 70 kNABCRA​ = ?2 m1.5 m0.5 m1 m

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、2 m から 5 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 4 mAC = 5 mP = 70 kN 位置 3.5 mw = 8 kN/m（2 から 5 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 2 kN/mP = 65 kNAB断面0.5 m0.5 m3 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 65 kN 位置 1 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 4 kN/mP = 30 kNAB断面3 m0.5 m0.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 30 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB10 kN8 m1 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB10 kN30 kN4 m1 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 30 kN ←
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 24 kNABδ2 m3 m

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 24 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 m30 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 1.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: MA = 300 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

壁まわりのモーメント

MA = P·a + W·x̄ = 30·5 + 30·5 = 300 kN·m

答え

MA = 300 kN·m
2.はりの支点反力

答え: RA = 11.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 70·3.5 + 24·3.5
RB = 329/4 = 82.25 kN
RA = 94 − 82.25 = 11.75 kN

答え

RA = 11.75 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −44.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −65·0.5 = −32.5 kN·m
w: −2·3.5²/2 = −12.25 kN·m
Mx = −32.5 − 12.25 = −44.75 kN·m

答え

Mx = −44.75 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 14.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·3 + 4·4·2
RB = 122/4 = 30.5 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 30.5 = 15.5 kN
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = 15.5RB​ = 30.5断面3 m0.5 m0.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15.5·3.5 − 30·(3.5 − 3) − 4·3.5·1.75 = 14.75 kN·m

答え

Mx = 14.75 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −9.019 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·1 → Cy = 1.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 1.25 = 8.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8.75/0.9701 = −9.019 kN

答え

FAB = −9.019 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = 22.53 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 − 30·2 → Cy = −12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −12.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−12.5/0.5547 = 22.53 kN

答え

FBC = 22.53 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 5.053 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·3000²/(3·1.14 × 10¹³·5000) = 5.053 mm

答え

δP = 5.053 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 35.16 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·5000⁴/(384·200000·13.89) = 3.516 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 35.16 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 35.16 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 3.084 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·6000 = 12000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/12000² = 3084 N = 3.084 kN

答え

Pcr = 3.084 kN
10.柱の座屈

答え: d = 68.53 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.53 mm

答え

d = 68.53 mm

確認：細長比 KL/r は 175.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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