構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 40 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m7 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 10 mP1 = 40 kN 位置 2 mP2 = 55 kN 位置 3 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP = 45 kN 位置 3 mw = 2 kN/m（2 から 4 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 25 kN·mAB2 m4 m

単純ばりに、A から x = 2 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 25 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mM0 = 25 kN·m 時計回り、位置 2 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 30 kNAB断面3.5 m0.5 m2 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 30 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB30 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB10 kN15 kN8 m3 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 1.5 kN/mABδ4 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 m30 × 80 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 70.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 40 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2 m1 m7 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 40·2 + 55·3
RB = 245/10 = 24.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 24.5 = 70.5 kN

答え

RA = 70.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 29.4 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​RB​2 m1 m1 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3 + 2·2·3
RB = 147/5 = 29.4 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 29.4 = 19.6 kN

答え

RB = 29.4 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −8.333 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 25/6 = 4.167 kN (上向き)
RA = −RB = −4.167 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −4.167·2 = −8.333 kN·m

答え

Mx = −8.333 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 87.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4 + 12·6·3
RB = 336/6 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 102 − 56 = 46 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 46RB​ = 56断面3.5 m0.5 m2 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 46·3.5 − 12·3.5·1.75 = 87.5 kN·m

答え

Mx = 87.5 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 5.625 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7.5 = 22.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.8 = −9.375 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9.375)·0.6 = 5.625 kN

答え

FAC = 5.625 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −16.79 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·3 − 15·3 → Cy = −1.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −1.875 = 11.88 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11.88/0.7071 = −16.79 kN

答え

FAB = −16.79 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 77.88 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·6.27 × 10¹¹) = 77.88 mm

答え

δ = 77.88 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 187.1 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 4.091 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·4.091 × 10⁷/75)1/3 = 187.1 mm

答え

hreq = 187.1 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 3.454 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3.454 kN

答え

Pcr = 3.454 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 12.69 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/15 = 233.3

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233.3² = 12.69 MPa

答え

σcr = 12.69 MPa

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