構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 15 kN/mP = 65 kNABRA​ = ?0.5 m3.5 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 15 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。 さらに A から 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 65 kN 位置 0.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m0.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mP = 10 kN 位置 3.5 mw = 4 kN/m（2 から 3 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNAB1 m3 m1 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP1 = 35 kN 位置 1 mP2 = 25 kN 位置 4 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 40 kNAB断面1 m1 m2 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 1 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN5 m2 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 25 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB50 kN10 kN4 m1 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 10 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 4 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 20 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 140 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 140 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 140 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 66.88 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 30·2.667 + 65·0.5
RB = 28.13 kN
RA = 95 − 28.13 = 66.88 kN

答え

RA = 66.88 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​RB​2 m1 m0.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3.5 + 4·1·2.5
RB = 45/5 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9 = 5 kN

答え

RA = 5 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 25·4
RB = 135/5 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27 = 33 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1 = 33·1 = 33 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 27·1 = 27 kN·m

最大値

Mmax = 33 kN·m (荷重点 P1)

答え

Mmax = 33 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 44 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 12·4·2
RB = 136/4 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 34 = 54 kN
w = 12 kN/mP = 40 kNABRA​ = 54RB​ = 34断面1 m1 m2 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 54·2 − 40·(2 − 1) − 12·2·1 = 44 kN·m

答え

Mx = 44 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 15 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 10 = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.5547 = −18.03 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−18.03)·0.8321 = 15 kN

答え

FAC = 15 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 11.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 − 10·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 7.5 = 42.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.5547 = −13.52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.52)·0.8321 = 11.25 kN

答え

FAC = 11.25 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δ = 39.75 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 39.75 mm

答え

δ = 39.75 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·5000⁴/(384·11000·13.89) = 5.327 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.426 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN

答え

Pcr = 5.426 kN
10.柱の座屈

答え: d = 72.15 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72.15 mm

答え

d = 72.15 mm

確認：細長比 KL/r は 138.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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