構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 55 kNABCRB​ = ?2.5 m0.5 m1 m

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 10 kN 位置 2.5 mP2 = 55 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 80 kN, 45°Q = 45 kNABRA​ = ?1 m3 m6 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 1 m の位置に水平と 45° をなす荷重 P が、A から 4 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 10 mP = 80 kN 位置 1 m, θ = 45°Q = 45 kN 位置 4 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 35 kN·mAB4 m6 m

単純ばりに、A から x = 4 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 35 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mM0 = 35 kN·m 時計回り、位置 4 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 35 kNAB断面2.5 m2.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 35 kN 位置 2.5 mw = 8 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN5 m1 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 25 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN30 kN6 m2 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 30 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 24 kNABδ2.5 m1.5 m

単純ばりの支点 A から a = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 24 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mP = 22 kNδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 22 kNw = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 80 kNL = 1 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 80 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 81.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·3 = 10·2.5 + 55·4
RB = 245/3 = 81.67 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 10 + 55 − 81.67 = −16.67 kN

答え

RB = 81.67 kN

RA は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: RA = 96.28 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 80·sin 45° = 56.57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56.57 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 56.57·1 + 45·4 → RB = 23.66 kN
Ay = 56.57 + 45 − 23.66 = 77.91 kN
Ax = Ph = 56.57 kN

A での合力

RA = √(56.57² + 77.91²) = 96.28 kN

答え

RA = 96.28 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −14 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 35/10 = 3.5 kN (上向き)
RA = −RB = −3.5 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −3.5·4 = −14 kN·m

答え

Mx = −14 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 68.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2.5 + 8·5·2.5
RB = 187.5/5 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 37.5 = 37.5 kN
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​ = 37.5RB​ = 37.5断面2.5 m2.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 37.5·2.5 − 8·2.5·1.25 = 68.75 kN·m

答え

Mx = 68.75 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −21.08 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 5 = 20 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.9487 = −21.08 kN

答え

FAB = −21.08 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = 6.009 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 + 30·3 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 20 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5/0.8321 = 6.009 kN

答え

FAB = 6.009 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 16.54 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 24000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2500²·1500²/(3·1.7 × 10¹²·4000) = 16.54 mm

答え

δP = 16.54 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 7.737 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 22000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 22000·2500³/(48·1.32 × 10¹²) = 5.425 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 2.312 mm

足し合わせる

δmax = 5.425 + 2.312 = 7.737 mm

答え

δmax = 7.737 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 2.366 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2.366 kN

答え

Pcr = 2.366 kN
10.柱の座屈

答え: d = 50.7 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 50.7 mm

答え

d = 50.7 mm

確認：細長比 KL/r は 157.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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