構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w = 12 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?4 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、壁から 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 4 mP = 55 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
P = 80 kN, 30°Q = 75 kNABα = ?1.5 m2 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3.5 m の位置に水平と 30° をなす荷重 P が、A から 1.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力と水平とのなす角 α を求めよ。

L = 5 mP = 80 kN 位置 3.5 m, θ = 30°Q = 75 kN 位置 1.5 m
α = °
3.せん断力と曲げモーメントふつう
25 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 4 m40 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 45 kNAB断面2.5 m0.5 m3 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 45 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABCDEFGH15 kN40 kN35 kN4 × 4 m4 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

B: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 BG
  13. 13部材 DG
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB55 kN30 kN8 m3 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 30 kN →
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 20 kNABδ7 m1 m

単純ばりの支点 A から a = 7 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 20 kNa = 7 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mAB5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。

L = 5 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 80 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 80 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: MA = 316 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m

壁まわりのモーメント

MA = P·a + W·x̄ = 55·4 + 48·2 = 316 kN·m

答え

MA = 316 kN·m
2.はりの支点反力

答え: α = 42.95 °

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 80·sin 30° = 40 kN
Ph = 80·cos 30° = 69.28 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 40·3.5 + 75·1.5 → RB = 50.5 kN
Ay = 40 + 75 − 50.5 = 64.5 kN
Ax = Ph = 69.28 kN

A での向き

α = atan(Ay/Ax) = atan(64.5/69.28) = 42.95°

答え

α = 42.95°
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 36.67 kN, R2 = 28.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 73.33, MC = 146.7, MD = 170 kN·m, ME = 113.3, MF = 56.67, MG = 0

答え

点 D: MD = 170 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 91.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·3 + 8·6·3
RB = 279/6 = 46.5 kN
ΣFy = 0: RA = 93 − 46.5 = 46.5 kN
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​ = 46.5RB​ = 46.5断面2.5 m0.5 m3 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 46.5·2.5 − 8·2.5·1.25 = 91.25 kN·m

答え

Mx = 91.25 kN·m
5.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 58.75 kN (T), BC: 62.5 kN (T), CD: 62.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 58.75 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 83.09 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 18.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 5.303 kN (C), DG: 44.19 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG
6.トラス：節点法

答え: FAB = −48.45 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB55 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·3 + 30·2 → Cy = 28.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 28.13 = 26.88 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26.88/0.5547 = −48.45 kN

答え

FAB = −48.45 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 1.276 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 20000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·7000²·1000²/(3·3.2 × 10¹³·8000) = 1.276 mm

答え

δP = 1.276 mm
8.はりのたわみ

答え: MA = 15.63 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

MA = wL²/2 − RB·L = 62.5 − 46.88 = 15.63 kN·m

答え

MA = 15.63 kN·m
9.柱の座屈

答え: Pcr = 4.449 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4.449 kN

答え

Pcr = 4.449 kN
10.柱の座屈

答え: d = 81.55 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 81.55 mm

答え

d = 81.55 mm

確認：細長比 KL/r は 122.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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