構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 30 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?1.5 m2.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP1 = 30 kN 位置 1.5 mP2 = 60 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1.5 m0.5 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mP = 20 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（2 から 3 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 30 kN·mAB1 m9 m

単純ばりに、A から x = 1 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 30 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mM0 = 30 kN·m 時計回り、位置 1 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 25 kNAB4 m1 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP = 25 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN8 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 60 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB20 kN15 kN8 m2 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 20 kN水平荷重 = 15 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 8 kNABδ3.5 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 8 kNa = 3.5 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mAB5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 5 mw = 6 kN/m
RB = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 m40 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 20 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 20 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 47.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 30 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1.5 m2.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 30·1.5 + 60·4
RB = 285/6 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 47.5 = 42.5 kN

答え

RB = 47.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 18 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.5 + 8·1·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 10 = 18 kN

答え

RA = 18 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 27 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 30/10 = 3 kN (上向き)
RA = −RB = −3 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −3·1 + 30 = 27 kN·m

答え

Mx = 27 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 51.04 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 12·5·2.5
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 50 = 35 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − w·x0 = 0 → x0 = 35/12 = 2.917 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 35·2.917 − 12·2.917²/2 = 51.04 kN·m

答え

Mmax = 51.04 kN·m

それは A から x = 2.917 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FAC = 37.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 22.5 = 37.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.5145 = −43.73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.73)·0.8575 = 37.5 kN

答え

FAC = 37.5 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 18.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·2 + 15·4 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 12.5 = 7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.5547 = −22.53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.53)·0.8321 = 18.75 kN

答え

FAC = 18.75 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δB = 12.18 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 8000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 10.03 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.004298 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.18 mm

答え

δB = 12.18 mm
8.はりのたわみ

答え: RB = 11.25 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11.25 kN

答え

RB = 11.25 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 117 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

答え

Pcr = 117 kN
10.柱の座屈

答え: d = 46.42 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 46.42 mm

答え

d = 46.42 mm

確認：細長比 KL/r は 258.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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