構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P = 40 kNM = 30 kN·mABRB​ = ?2 m1 m5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2 m の位置に集中荷重 P が、A から 3 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 40 kN 位置 2 mM = 30 kN·m (反時計回り) 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m0.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 55 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（1 から 4 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 2 kN/mAB断面2 m8 m

支点 A から x = 2 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2 m
Vx = kN
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 40 kNAB断面0.5 m0.5 m4 m

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 40 kN 位置 1 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 50 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN15 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 21 kNABδ1.5 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 21 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 13 kNABδ5 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 13 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 125 kNL = 2.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 125 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 6.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣMA = 0: RB·8 − 40·2 + 30 = 0
RB = 50/8 = 6.25 kN

鉛直方向のつり合い

RA = 40 − 6.25 = 33.75 kN

答え

RB = 6.25 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: RB = 35.63 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m0.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 8·3·2.5
RB = 142.5/4 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 35.63 = 43.38 kN

答え

RB = 35.63 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = 6 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10断面2 m8 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 10 − 2·2 = 6 kN

答え

Vx = 6 kN
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 29.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 12·5·2.5
RB = 190/5 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 38 = 62 kN
w = 12 kN/mP = 40 kNABRA​ = 62RB​ = 38断面0.5 m0.5 m4 m

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 62·0.5 − 12·0.5·0.25 = 29.5 kN·m

答え

Mx = 29.5 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 12.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37.5 = 12.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37.5/0.9487 = −39.53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39.53)·0.3162 = 12.5 kN

答え

FAC = 12.5 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −30.05 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 − 15·3 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 18.75 = 21.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21.25/0.7071 = −30.05 kN

答え

FAB = −30.05 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 2.072 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 21000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 21000·1500³/(3·1.14 × 10¹³) = 2.072 mm

答え

δP = 2.072 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 45.9 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 45.9 mm

答え

δmax = 45.9 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 158.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158.8 kN

答え

Pcr = 158.8 kN
10.柱の座屈

答え: d = 123.2 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 123.2 mm

答え

d = 123.2 mm

確認：細長比 KL/r は 162.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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