構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​3 m4 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 8 mP1 = 45 kN 位置 3 mP2 = 45 kN 位置 7 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m0.5 m0.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 25 kN 位置 1.5 mw = 5 kN/m（1 から 2 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 20 kNP2​ = 70 kNAB5 m1 m2 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP1 = 20 kN 位置 5 mP2 = 70 kN 位置 6 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
4 kN/m60 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 12 m50 kN @ 2 m4 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN5 m1 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB45 kN30 kN8 m5 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 30 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 2 kNABδ2 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 2 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 m20 × 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 33.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 45 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​3 m4 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 45·7
RB = 450/8 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 56.25 = 33.75 kN

答え

RA = 33.75 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 11.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m0.5 m0.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1.5 + 5·1·1.5
RB = 45/4 = 11.25 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 11.25 = 18.75 kN

答え

RB = 11.25 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 130 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 70·6
RB = 520/8 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 65 = 25 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·5 = 25·5 = 125 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 65·2 = 130 kN·m

最大値

Mmax = 130 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 130 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 23.5 kN, R2 = 118.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 39, MC = −38, MD = −131, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

答え

点 E: ME = −240 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 20 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 10 = 40 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.4472 = −22.36 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22.36)·0.8944 = 20 kN

答え

FAC = 20 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 39.38 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 + 30·3 → Cy = 39.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 39.38 = 5.625 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −39.38/0.7071 = −55.68 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−55.68)·0.7071 = 39.38 kN

答え

FAC = 39.38 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 2.222 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 2000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 2000·2000³/(3·2.4 × 10¹²) = 2.222 mm

答え

δP = 2.222 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·70000·8.333) = 3.616 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 13.16 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2000² = 13159 N = 13.16 kN

答え

Pcr = 13.16 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 4.318 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

答え

σcr = 4.318 MPa

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