構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 25 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​3.5 m0.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 25 kN 位置 3.5 mP2 = 45 kN 位置 4 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 45 kNQ = 55 kNADCMA​ = ?1 m1 m2.5 m1.5 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 2 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 4.5 m の位置の集中荷重 P および A から 1 m の位置の集中荷重 Q である。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

AC = 2 mAD = 6 mP = 45 kN 位置 4.5 mQ = 55 kN 位置 1 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 35 kN·mAB2 m2 m

単純ばりに、A から x = 2 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 35 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mM0 = 35 kN·m 時計回り、位置 2 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 40 kNAB断面1 m3 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 1 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB60 kN6 m4 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 60 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN30 kN8 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 30 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 1 kN/mABδ3.5 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 115 kNL = 2 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 25.42 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 25 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​3.5 m0.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 25·3.5 + 45·4
RB = 267.5/6 = 44.58 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 44.58 = 25.42 kN

答え

RA = 25.42 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 88.75 kN·m

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

ΣMC = 0: RD·4 = 45·2.5
RD = 28.13 kN
VC = 45 − 28.13 = 16.88 kN

部分 AC

ヒンジ力 VC は AC に下向きに作用します（CD への作用と大きさが等しく向きが逆）。

RA = 55 + 16.88 = 71.88 kN
MA = 55·1 + 16.88·2 = 88.75 kN·m

答え

MA = 88.75 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 17.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 35/4 = 8.75 kN (上向き)
RA = −RB = −8.75 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −8.75·2 + 35 = 17.5 kN·m

答え

Mx = 17.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 45 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 10·4·2
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 30 = 50 kN
w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​ = 50RB​ = 30断面1 m3 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50·1 − 10·1·0.5 = 45 kN·m

答え

Mx = 45 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −56.57 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40/0.7071 = −56.57 kN

答え

FBC = −56.57 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 6.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·3 − 30·3 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 3.75 = 36.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.75/0.5145 = −7.289 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−7.289)·0.8575 = 6.25 kN

答え

FAC = 6.25 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 56.4 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 56.4 mm

答え

δmax = 56.4 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 143 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9.722) = 1.827 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.827 × 10⁷/75)1/3 = 143 mm

答え

hreq = 143 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 8.721 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

答え

Pcr = 8.721 kN
10.柱の座屈

答え: d = 58.69 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.69 mm

答え

d = 58.69 mm

確認：細長比 KL/r は 136.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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