構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 8 kN/mABRB​ = ?8 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 8 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。 鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 8 mw0 = 8 kN/m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w0​ = 20 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?2.5 m2.5 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 20 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 2.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 60 kN 位置 2.5 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 4 kN/mAB断面4.5 m3.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
10 kN/m15 kN60 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m15 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN25 kN6 m5 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 25 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mP = 18 kNδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 18 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 m30 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 2 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 21.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 32·5.333
RB = 21.33 kN
RA = 32 − 21.33 = 10.67 kN

答え

RB = 21.33 kN
2.はりの支点反力

答え: MA = 316.7 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

MA = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 60·2.5 = 316.7 kN·m

答え

MA = 316.7 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 31.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16断面4.5 m3.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·4.5 − 4·4.5·2.25 = 31.5 kN·m

答え

Mx = 31.5 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 5 kN, R2 = 115 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −15, MC = −30, MD = −70, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

答え

点 E: ME = −120 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −27.06 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26.25 = 8.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26.25/0.9701 = −27.06 kN

答え

FBC = −27.06 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −48.31 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 + 25·3 → Cy = 45.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 45.83 = −5.833 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45.83/0.9487 = −48.31 kN

答え

FBC = −48.31 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 1.076 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.076 mm

答え

δmax = 1.076 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 2.317 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 18000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 18000·3000³/(48·1.12 × 10¹³) = 0.904 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 1.413 mm

足し合わせる

δmax = 0.904 + 1.413 = 2.317 mm

答え

δmax = 2.317 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 170.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1250² = 170547 N = 170.5 kN

答え

Pcr = 170.5 kN
10.柱の座屈

答え: d = 76.14 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 76.14 mm

答え

d = 76.14 mm

確認：細長比 KL/r は 105.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis