構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 20 kN/mABRA​ = ?5 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 20 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mw0 = 20 kN/m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
P = 55 kN, 50°Q = 15 kNABRA​ = ?0.5 m2 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 0.5 m の位置に水平と 50° をなす荷重 P が、A から 2.5 m の位置に鉛直荷重 Q が作用する。 ピン A における全反力 RA の大きさを求めよ。

L = 4 mP = 55 kN 位置 0.5 m, θ = 50°Q = 15 kN 位置 2.5 m
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
6 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 60 kNAB断面2 m2 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 60 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB50 kN8 m1 m2 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN5 kN5 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 5 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mP = 23 kNABδ3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 23 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 4 kN/mδL = 8 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 45 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 45 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 33.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1.667
RB = 16.67 kN
RA = 50 − 16.67 = 33.33 kN

答え

RA = 33.33 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 55.28 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

P の成分

Pv = 55·sin 50° = 42.13 kN
Ph = 55·cos 50° = 35.35 kN

反力

ΣMA = 0: RB·4 = 42.13·0.5 + 15·2.5 → RB = 14.64 kN
Ay = 42.13 + 15 − 14.64 = 42.49 kN
Ax = Ph = 35.35 kN

A での合力

RA = √(35.35² + 42.49²) = 55.28 kN

答え

RA = 55.28 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 48 kN, R2 = 48 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 45, MC = 84, MD = 117 kN·m, ME = 84, MF = 45, MG = 0

答え

点 D: MD = 117 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 80 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2 + 10·4·2
RB = 200/4 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 50RB​ = 50断面2 m2 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50·2 − 10·2·1 = 80 kN·m

答え

Mx = 80 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −48.91 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 6.25 = 43.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −43.75/0.8944 = −48.91 kN

答え

FAB = −48.91 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −18.33 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·1 + 5·3 → Cy = 11 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 11 = 29 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11/0.6 = −18.33 kN

答え

FBC = −18.33 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 10.31 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 23000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 23000·3000³/(3·2.4 × 10¹³) = 8.625 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 1.688 mm

足し合わせる

δ = 8.625 + 1.688 = 10.31 mm

答え

δ = 10.31 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·8000⁴/(384·200000·22.22) = 4.8 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN

答え

Pcr = 34.88 kN
10.柱の座屈

答え: d = 67.48 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 67.48 mm

答え

d = 67.48 mm

確認：細長比 KL/r は 148.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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