構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​4.5 m0.5 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP1 = 60 kN 位置 4.5 mP2 = 25 kN 位置 5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m1 m5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 20 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（1 から 3 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mAB断面4.5 m0.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 20 kNAB1 m5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP = 20 kN 位置 1 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN5 m3 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 35 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB35 kN30 kN6 m4 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 35 kN水平荷重 = 30 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 2.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 18 kNP = 18 kNABδ2 m2 m2 m

単純ばりの 3 等分点（各支点から L/3）に等しい集中荷重 P が 2 つ作用する。重ね合わせを用いてスパン中央のたわみ δmax を求めよ。

P = 18 kNL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 80 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 19.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​4.5 m0.5 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 60·4.5 + 25·5
RB = 395/6 = 65.83 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 65.83 = 19.17 kN

答え

RA = 19.17 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 9 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m1 m5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 8·2·2
RB = 72/8 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 9 = 27 kN

答え

RB = 9 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 3.375 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2.5
RB = 37.5/5 = 7.5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7.5 = 7.5 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 7.5RB​ = 7.5断面4.5 m0.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 7.5·4.5 − 3·4.5·2.25 = 3.375 kN·m

答え

Mx = 3.375 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 37.93 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 6·6·3
RB = 128/6 = 21.33 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 21.33 = 34.67 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (34.67 − 20)/6 = 2.444 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 37.93 kN·m

答え

Mmax = 37.93 kN·m

それは A から x = 2.444 m の位置に生じます。

5.トラス：節点法

答え: FBC = −25.24 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21 = 14 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21/0.8321 = −25.24 kN

答え

FBC = −25.24 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −44.78 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 − 30·4 → Cy = 3.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 3.333 = 31.67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −31.67/0.7071 = −44.78 kN

答え

FAB = −44.78 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δ = 73.98 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·3.96 × 10¹¹) = 73.98 mm

答え

δ = 73.98 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 5.75 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 18000 N, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

L/3 の位置の 1 つの荷重

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 2.875 mm

両方の荷重を足す

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5.75 mm

答え

δmax = 5.75 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 23.55 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23.55 kN

答え

Pcr = 23.55 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 17.27 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σcr = 17.27 MPa

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