構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 10 kN/mP = 20 kNABRB​ = ?4 m6 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 10 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 さらに A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。 鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mw0 = 10 kN/mP = 20 kN 位置 4 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?1.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 35 kN 位置 1.5 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
6 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 8 m6 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 45 kNAB断面0.5 m1.5 m2 m

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 45 kN 位置 2 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN8 m6 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 45 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN20 kN6 m4 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 20 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 17 kNABδ3 m2 m

単純ばりの支点 A から a = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 17 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 1.5 kN/mABδ5 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 1 md = 20 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 24.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·10·10 = 50 kN
x̄ = L/3 = 3.333 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 50·3.333 + 20·4
RB = 24.67 kN
RA = 70 − 24.67 = 45.33 kN

答え

RB = 24.67 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 25.13 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1.5 + 6·4·2
RB = 100.5/4 = 25.13 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 25.13 = 33.88 kN

答え

RB = 25.13 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 56 kN, R2 = 76 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 100, MC = 176, MD = 228, ME = 256 kN·m, MF = 140, MG = 0

答え

点 E: ME = 256 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 15.63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 5·4·2
RB = 130/4 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32.5 = 32.5 kN
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = 32.5RB​ = 32.5断面0.5 m1.5 m2 m

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32.5·0.5 − 5·0.5·0.25 = 15.63 kN·m

答え

Mx = 15.63 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAB = −20.28 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33.75 = 11.25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/7.211 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11.25/0.5547 = −20.28 kN

答え

FAB = −20.28 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 6.667 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·4 − 20·4 → Cy = 13.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13.33 = 26.67 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.33/0.8944 = −14.91 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14.91)·0.4472 = 6.667 kN

答え

FAC = 6.667 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δP = 68.57 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 17000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·3000²·2000²/(3·5.95 × 10¹¹·5000) = 68.57 mm

答え

δP = 68.57 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 220 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·5000⁴/(384·11000·16.67) = 6.658 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·6.658 × 10⁷/75)1/3 = 220 mm

答え

hreq = 220 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 158.8 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158.8 kN

答え

Pcr = 158.8 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 35.25 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答え

σcr = 35.25 MPa

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