はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。
L = 10 mP1 = 30 kN 位置 6 mP2 = 25 kN 位置 8 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 15 kN/m で自由端 B で 0 まで直線的に減少する分布荷重と、壁から 4 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 8 mw0 = 15 kN/mP = 80 kN 位置 4 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mw = 6 kN/m（4 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 20 kN
FAB = kN
6.トラス：節点法むずかしい
節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。
スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 30 kN ←
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 28 kNw = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RB = 38 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 30·6 + 25·8
RB = 380/10 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 38 = 17 kN
答え
RB = 38 kN
2.はりの支点反力
答え: MA = 480 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
三角形分布荷重の合力
W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
壁まわりのモーメント
MA = W·x̄ + P·a = 60·2.667 + 80·4 = 480 kN·m
答え
MA = 480 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 21 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·1 − 6·1·0.5 = 21 kN·m
答え
Mx = 21 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 27 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·4·6
RB = 144/8 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 18 = 6 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 6/6 = 5 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 6·5 − 6·1²/2 = 27 kN·m
答え
Mmax = 27 kN·m
5.トラス：節点法
答え: FAB = −14.91 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·2 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6.667 = 13.33 kN
節点 A
すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.33/0.8944 = −14.91 kN
答え
FAB = −14.91 kN (圧縮)
6.トラス：節点法
答え: FAC = 40.31 kN
節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。
支点反力
トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·5 − 30·2 → Cy = 26.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 26.88 = 28.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
節点 C
ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。
sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26.88/0.5547 = −48.45 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−48.45)·0.8321 = 40.31 kN
答え
FAC = 40.31 kN (引張)
7.はりのたわみ
答え: δmax = 6.92 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 6.92 mm
答え
δmax = 6.92 mm
8.はりのたわみ
答え: δmax = 6.278 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 28000·5000³/(48·1.68 × 10¹³) = 4.34 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 1.938 mm
足し合わせる
δmax = 4.34 + 1.938 = 6.278 mm
答え
δmax = 6.278 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 26.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26.99 kN
答え
Pcr = 26.99 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 27.76 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答え
σcr = 27.76 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis