はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 8 mP1 = 50 kN 位置 2 mP2 = 25 kN 位置 4 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 10 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 3 m の位置の集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。
L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 80 kN 位置 3 m
MA = kN·m
3.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 65 kN 位置 2 mP2 = 75 kN 位置 3 m
Mmax = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 7 mw = 4 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓G: 15 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
D: 25 kN ↓H: 35 kN ←
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 BG
- 13部材 DG
7.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 23 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 90 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 50 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 25·4
RB = 200/8 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 25 = 50 kN
答え
RA = 50 kN
2.はりの支点反力
答え: MA = 293.3 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
三角形分布荷重の合力
W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
壁まわりのモーメント
MA = W·x̄ + P·a = 20·2.667 + 80·3 = 293.3 kN·m
答え
MA = 293.3 kN·m
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 221.9 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 65·2 + 75·3
RB = 355/8 = 44.38 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 44.38 = 95.63 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 95.63·2 = 191.3 kN·m
荷重点 P2: M = RB·5 = 44.38·5 = 221.9 kN·m
最大値
Mmax = 221.9 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 221.9 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 8.82 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·7·3.5
RB = 98/5 = 19.6 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 19.6 = 8.4 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 8.4/4 = 2.1 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8.4²/(2·4) = 8.82 kN·m
答え
Mmax = 8.82 kN·m
5.トラス：節点法
答え: 部材 BF
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 B
AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 42.43 kN (T), HC: 14.14 kN (T)
答え
ゼロ部材: BF
6.トラス：節点法
答え: 部材 CG
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 C
BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 20 kN (C), BC: 5 kN (C), CD: 5 kN (C), DE: 10 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 21.21 kN (C), HE: 14.14 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 21.21 kN (C), DG: 21.21 kN (T)
答え
ゼロ部材: CG
7.はりのたわみ
答え: δ = 31.56 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 23000·3000³/(3·7.2 × 10¹²) = 28.75 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 2.813 mm
足し合わせる
δ = 28.75 + 2.813 = 31.56 mm
答え
δ = 31.56 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 115.1 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·11000·8.333) = 1.151 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 115.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 115.1 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.426 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN
答え
Pcr = 5.426 kN
10.柱の座屈
答え: d = 91.36 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 91.36 mm
答え
d = 91.36 mm
確認：細長比 KL/r は 218.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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