構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w = 2 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?2.5 m0.5 m2 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 2.5 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 5 mP = 20 kN 位置 3 mw = 2 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 4 mP = 25 kN 位置 2 mw = 2 kN/m（2 から 3 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mAB断面0.5 m9.5 m

支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mP = 35 kNAB断面3 m1 m1 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 35 kN 位置 4 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB45 kN8 m7 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 45 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB55 kN10 kN8 m1 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 10 kN ←
FAB = kN
7.はりのたわみふつう
P = 5 kNABδ2 m6 m

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 5 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 m30 × 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 125 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 125 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: MA = 66.25 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 2·2.5 = 5 kN, x̄ = 1.25 m

壁まわりのモーメント

MA = P·a + W·x̄ = 20·3 + 5·1.25 = 66.25 kN·m

答え

MA = 66.25 kN·m
2.はりの支点反力

答え: RA = 13.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2 + 2·1·2.5
RB = 55/4 = 13.75 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 13.75 = 13.25 kN

答え

RA = 13.25 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 7.125 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15断面0.5 m9.5 m

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·0.5 − 3·0.5·0.25 = 7.125 kN·m

答え

Mx = 7.125 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 27 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·4 + 2·5·2.5
RB = 165/5 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 33 = 12 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 12RB​ = 33断面3 m1 m1 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 12·3 − 2·3·1.5 = 27 kN·m

答え

Mx = 27 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 13.13 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 → Cy = 39.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 39.38 = 5.625 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −39.38/0.9487 = −41.5 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−41.5)·0.3162 = 13.13 kN

答え

FAC = 13.13 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAB = −54.76 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB55 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 − 10·4 → Cy = 1.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 1.875 = 53.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −53.13/0.9701 = −54.76 kN

答え

FAB = −54.76 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δP = 18.63 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 5000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·2000²·6000²/(3·1.61 × 10¹²·8000) = 18.63 mm

答え

δP = 18.63 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 227.4 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1250² = 227396 N = 227.4 kN

答え

Pcr = 227.4 kN
10.柱の座屈

答え: d = 97.48 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 97.48 mm

答え

d = 97.48 mm

確認：細長比 KL/r は 143.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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