構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m4 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 8 mP1 = 55 kN 位置 3 mP2 = 10 kN 位置 4 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 5 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 40 kN 位置 1 mw = 5 kN/m（2 から 4 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 2 kN/mAB断面1.5 m3.5 m

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mAB1 m3 m1 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mw = 10 kN/m（1 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB35 kN5 m4 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 35 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB40 kN5 kN6 m4 m2 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 5 kN →
FAC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 8 kN/mδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 39.38 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​3 m1 m4 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 55·3 + 10·4
RB = 205/8 = 25.63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 25.63 = 39.38 kN

答え

RA = 39.38 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 17.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 5 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 5·2·3
RB = 70/4 = 17.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17.5 = 32.5 kN

答え

RB = 17.5 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 5.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 5RB​ = 5断面1.5 m3.5 m

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 5·1.5 − 2·1.5·0.75 = 5.25 kN·m

答え

Mx = 5.25 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 26.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3·2.5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 15/10 = 2.5 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 15·2.5 − 10·1.5²/2 = 26.25 kN·m

答え

Mmax = 26.25 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −29.51 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·4 → Cy = 28 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 28 = 7 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28/0.9487 = −29.51 kN

答え

FBC = −29.51 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FAC = 28.33 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·4 + 5·2 → Cy = 28.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 28.33 = 11.67 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28.33/0.7071 = −40.07 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40.07)·0.7071 = 28.33 kN

答え

FAC = 28.33 kN (引張)
7.はりのたわみ

答え: δmax = 4.36 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 4.36 mm

答え

δmax = 4.36 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·70000·5.556) = 4.286 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN

答え

Pcr = 34.88 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 49.35 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答え

σcr = 49.35 MPa

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