はりの支点反力
- つり合い
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 等分布荷重
- 合力 w·L は荷重の中央に作用
- モーメント
- M = F·d
解き方
- 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
- 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
- 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
- ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。
構造力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
トラス：節点法
- 節点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 切断法
- ΣM = 0 about a cut point
- 部材力
- 正 = 引張、負 = 圧縮
解き方
- トラス全体の支点反力を求めます。
- 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
- 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
- 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.はりの支点反力ふつう
単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 15 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 4 mw0 = 15 kN/m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。
L = 6 mP = 55 kN 位置 5 mw = 8 kN/m（0 から 1 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP1 = 40 kN 位置 1 mP2 = 45 kN 位置 5 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP = 50 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
6.トラス：節点法むずかしい
このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。
B: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ←
- 1部材 AB
- 2部材 BC
- 3部材 CD
- 4部材 DE
- 5部材 FG
- 6部材 GH
- 7部材 AF
- 8部材 HE
- 9部材 BF
- 10部材 CG
- 11部材 DH
- 12部材 FC
- 13部材 HC
7.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 14 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.はりの支点反力
答え: RA = 20 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。
三角形分布荷重の合力
W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.333
RB = 10 kN
RA = 30 − 10 = 20 kN
答え
RA = 20 kN
2.はりの支点反力
答え: RA = 16.5 kN
静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。
自由体図
支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。
つり合い
A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN、作用点 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 8·1·0.5
RB = 279/6 = 46.5 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 46.5 = 16.5 kN
答え
RA = 16.5 kN
3.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 18.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 45·5
RB = 265/4 = 66.25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 66.25 = 18.75 kN
P1 の位置で切断し、左側を残す
Mx = RA·1 = 18.75·1 = 18.75 kN·m
答え
Mx = 18.75 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 189.1 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·3 + 8·10·5
RB = 550/10 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 55 = 75 kN
V = 0 となるのはどこですか？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (75 − 50)/8 = 3.125 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 189.1 kN·m
答え
Mmax = 189.1 kN·m
それは A から x = 3.125 m の位置に生じます。
5.トラス：節点法
答え: 部材 DH
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 D
CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 38.33 kN (T), BC: 38.33 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 47.92 kN (C), HE: 43.75 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 14.58 kN (T), HC: 18.75 kN (T)
答え
ゼロ部材: DH
6.トラス：節点法
答え: 部材 DH
ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。
節点 D
CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
節点法で確認する
すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。
AB: 20.62 kN (T), BC: 20.62 kN (T), CD: 10.62 kN (T), DE: 10.62 kN (T), FG: 31.25 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 51.04 kN (C), HE: 17.71 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 1.042 kN (T), HC: 17.71 kN (T)
答え
ゼロ部材: DH
7.はりのたわみ
答え: δB = 40.58 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 14000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 23.19 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01739 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 40.58 mm
答え
δB = 40.58 mm
8.はりのたわみ
答え: Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6.944) = 1.332 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈
答え: Pcr = 31.64 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1000 = 700 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/700² = 31639 N = 31.64 kN
答え
Pcr = 31.64 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 69.09 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa
答え
σcr = 69.09 MPa
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