構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w0​ = 8 kN/mABRA​ = ?5 m

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 8 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。 鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mw0 = 8 kN/m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP = 60 kN 位置 3 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）
RA = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 10 kN·mAB4 m1 m

単純ばりに、A から x = 4 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 10 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mM0 = 10 kN·m 時計回り、位置 4 m
Mx = kN·m
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
8 kN/m40 kN15 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 0 m15 kN @ 6 m55 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB25 kN4 m3 m3 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 25 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN15 kN6 m4 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 15 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
P = 14 kNABδ0.5 m4.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 14 kNa = 0.5 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 30 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 30 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 30 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 13.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.667
RB = 6.667 kN
RA = 20 − 6.667 = 13.33 kN

答え

RA = 13.33 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 65 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​3 m2 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3 + 12·5·2.5
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 55 = 65 kN

答え

RA = 65 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 2 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 10/5 = 2 kN (上向き)
RA = −RB = −2 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −2·4 + 10 = 2 kN·m

答え

Mx = 2 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 1 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 73.67 kN, R2 = 60.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −40 kN·m, MC = −10.33, MD = 11.33, ME = −30, MF = −15, MG = 0

答え

点 B: MB = −40 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FAC = 6.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18.75 = 6.25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18.75/0.9487 = −19.76 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19.76)·0.3162 = 6.25 kN

答え

FAC = 6.25 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −21.03 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 + 15·3 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 17.5 = −2.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17.5/0.8321 = −21.03 kN

答え

FBC = −21.03 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: δB = 3.524 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 0.2431 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0007292 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3.524 mm

答え

δB = 3.524 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8.333) = 7.594 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 4.905 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4.905 kN

答え

Pcr = 4.905 kN
10.柱の座屈

答え: d = 44.35 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.35 mm

答え

d = 44.35 mm

確認：細長比 KL/r は 225.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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