構造力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
w = 4 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?2.5 m1 m1.5 m

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁から 2.5 m まで等分布荷重 w が作用し、壁から 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 壁における反力モーメント MA の大きさを求めよ。

L = 5 mP = 50 kN 位置 3.5 mw = 4 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 20 kNABCRB​ = ?1.5 m1 m0.5 m2 m

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用し、2.5 m から 5 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 3 mAC = 5 mP = 20 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（2.5 から 5 m まで）
RB = kN
3.せん断力と曲げモーメントふつう
8 kN/m20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 20 kN/mAB1 m7 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mw = 20 kN/m（1 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN4 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 20 kN
FBC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB50 kN5 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 50 kN水平荷重 = 5 kN →
FBC = kN
7.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mABθ2 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 m40 × 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 30 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.はりの支点反力

答え: MA = 187.5 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

分布荷重の合力

W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = 1.25 m

壁まわりのモーメント

MA = P·a + W·x̄ = 50·3.5 + 10·1.25 = 187.5 kN·m

答え

MA = 187.5 kN·m
2.はりの支点反力

答え: RB = 35 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 8·2.5 = 20 kN, x̄ = (2.5 + 5)/2 = 3.75 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·3 = 20·1.5 + 20·3.75
RB = 105/3 = 35 kN
RA = 40 − 35 = 5 kN

答え

RB = 35 kN
3.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 34 kN, R2 = 34 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 30, MC = 52, MD = 66 kN·m, ME = 52, MF = 30, MG = 0

答え

点 D: MD = 66 kN·m
4.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 155 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 20·7 = 140 kN、作用点 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7·4.5
RB = 630/8 = 78.75 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 78.75 = 61.25 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 61.25/20 = 4.063 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 61.25·4.063 − 20·3.063²/2 = 155 kN·m

答え

Mmax = 155 kN·m
5.トラス：節点法

答え: FBC = −7.071 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.7071 = −7.071 kN

答え

FBC = −7.071 kN (圧縮)
6.トラス：節点法

答え: FBC = −21.88 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB50 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 + 5·4 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 17.5 = 32.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17.5/0.8 = −21.88 kN

答え

FBC = −21.88 kN (圧縮)
7.はりのたわみ

答え: θA = 0.005952 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 15·2000³/(24·8.4 × 10¹¹) = 0.005952 rad

答え

θA = 0.005952 rad

これは 0.341° です。

8.はりのたわみ

答え: Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6.944) = 3.662 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 35.37 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2500² = 35373 N = 35.37 kN

答え

Pcr = 35.37 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 3.172 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/7.5 = 466.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466.7² = 3.172 MPa

答え

σcr = 3.172 MPa

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